Stabile Unendlichdimensionale Phasenrekonstruktion

In einer Vielzahl an Anwendungen kann von einem wellenförmigen Signal nur dessen Intensität, jedoch nicht dessen Phase gemessen werden. Ein klassisches Beispiel dafür ist die Bildgebung durch gebeugte Röntgenstrahlen, wo ein Objekt von einem Röntgenstrahl beleuchtet wird und in einiger Entfernung die Intensität der am Objekt gebeugten Strahlung aufgezeichnet wird. Kann man aus der gemessenen Intensität auch die dazugehörige Phase rekonstruieren, so ist es möglich das gesuchte Objekt in extrem hoher Auflösung zu beschreiben. Diese Methode ist heute die genaueste Methode zur Visualisierung von Nanostrukturen und führte unter Anderem zu der Entdeckung der Doppelhelixstruktur der DNA. Ähnliche Probleme in denen ein Signal von Intensitätsmessungen zu rekonstruieren ist finden sich jedoch auch in vielen anderen Anwendungen und sind unter dem Namen "Phase Retrieval" bekannt. Die numerische Lösung solcher Probleme ist ein bekanntermaßen schwieriges Problem, besonders wenn man zusätzlich mit Messfehlern oder Modellfehlern zu tun hat, was in der Praxis immer der Fall ist. In einer kürzlich fertiggestellten Arbeit konnten wir diese Schwierigkeiten erstmals präzise erfassen indem wir mathematisch bewiesen, dass für jedes Phase Retrieval Problem selbst kleinste Messfehler zu beliebig großen Rekonstruktionsfehlern führen können. Ein Ziel dieses Projekts ist es, die Stabilitätseigenschaften von verschiedenen Phase Retrieval Problemen vollständig mathematisch zu erfassen und zu verstehen. Basierend auf diesem neuen Verständnis werden sodann neue algorithmische Verfahren entwickelt, welche die unvermeidbaren Instabilitäten von Phase Retrieval Problemen geschickt umgehen und somit eine weitaus präzisere Lösung erzielen. Potenzielle Anwendungen dieser Methoden reichen weit über das Gebiet der Mathematik heraus und könnten sogar zu einer Verbesserung der momentan bestmöglichen Auflösung von bildgebenden Verfahren für Nanostrukturen führen.

Das Phasenrekonstruktionsproblem tritt auf wenn man von einem Signal nur den Betrag, nicht aber die Phase messen kann. In der Praxis tritt das zum Beispiel in der Beugungsbildgebung und Kristallographie auf. Diese bildgebenden Verfahren sind unter anderem dafür verantwortlich, dass die Doppelhelixstruktur der DNA sichtbar gemacht werden konnte. Die Phasenrekonstruktion ist dabei ein ganz zentraler Baustein, jedoch wird das zugrundeliegende Problem meist mit ad hoc Methoden gelöst, sodass nicht garantiert werden kann, dass wirklich das richtige Signal rekonstruiert wird. Weiters sind Messungen meist mit Rauschen behaftet, was die Rekonstruktion noch weiter verkompliziert. Die Konstruktion von verlässlichen und stabilen Algorithmen erfordert ein besseres mathematisches Verständnis des Phasenrekonstruktionsproblems. In den letzten Jahrzehnten wurde ein solches Verständnis für einige stilisierte Modellprobleme erzielt. Im vorliegenden Projekt konnten wir zum ersten Mal ein mathematisches Verständnis für realistische unendlichdimensionale Phasenrekonstruktionsprobleme, im Speziellen in der Ptychographie, erzielen. Diese Resultate charakterisieren genau, wie stark fehlerhafte Messungen die Rekonstruktion beeinflussen können. Um diese Charakterisierung zeigen zu können, wurde ein sehr interessanter Zusammenhang zwischen dem Phasenrekonstruktionsproblem und sogenannter spektraler Clusteringmethoden aus den Datenwissenschaften hergestellt. Mit tiefliegenden Methoden aus der Riemannschen Geometrie und der komplexen Analysis konnten wir zeigen, dass die Rekonstruktion genau dann stabil ist wenn die Messungen nicht aus verschiedenen Clustern bestehen, also zusammenhängend sind. Aus diesen Resultaten ergeben sich einige praktische Folgerungen. Zum Beispiel haben wir einen Algorithmus entwickelt mit dem man ein Signal automatisch in einzelne Teile zerlegen kann welche alle stabil rekonstruierbar sind. Weiters geben unsere Resultate Aufschluss darüber wie man experimentelle Messszenarien konstruieren mit besseren Stabilitätseigenschaften konstruieren kann. Basierend auf diesen Erkenntnissen konnten wir in weiterführender Arbeit erstmals einen Algorithmus entwickeln, welcher das in der Ptychographie auftretende Phasenrekonstruktionsproblem beweisbar stabil und effizient löst.