Arithmetische dynamische Systeme, Polynome und Polytope

Ein berühmtes mathematisches Problem, welches beinahe 80 Jahre nach seiner erstmaligen Formulierung durch den deutschen Mathematiker Lothar Collatz bis heute ungelöst bleibt, ist die nach ihm benannte Collatz-Vermutung, auch bekannt als das (3n+1)-Problem: Man wähle eine beliebige positive ganze Zahl und dividiere sie - sofern gerade - durch zwei; andernfalls multipliziere man sie mit drei und addiere eins. Wiederholt man nun diesen Vorgang genügend oft, gelangt man schließlich scheinbar unausweichlich zur Zahl Eins. Obwohl es für dieses Phänomen kein bekanntes Gegenbeispiel gibt und obwohl es zu dessen Verständnis nicht mehr braucht, als die Kenntnis der Grundrechenarten, bleibt es bis heute unbewiesen. Die beiden Regeln, welche den jeweiligen Nachfolger einer geraden oder ungeraden Zahl festlegen, bilden ein Beispiel eines arithmetisch dynamischen Systems und das (3n+1)-Problem ist dabei eine Vermutung über dessen letztliches Verhalten. Probiert man nun andere Regeln als jene im (3n+1)-Problem zur Definition eines arithmetisch dynamischen Systems, so finden sich Beispiele, für welche die Beantwortung der Frage nach deren letzlichem Verhalten von scheinbar jeder Schwierigkeit zwischen trivial und unmöglich sein kann. Eines der Ziele dieses Projektes ist es, diese Beispiele zu analysieren und zu kategorisieren, um ein besseres Verständnis der wahren Natur dieser drastisch verschiedenen Schwierigkeiten zu erhalten und um die Grenzen des Machbaren auszuloten. Dabei stellt sich heraus, dass es Verbindungenzwischenarithmetischdynamischen Systemenund sogenannten Permutationspolynomen gibt, welche dynamische Prozesse mit vergleichbaren Eigenschaften definieren. Ein weiteres Thema dieses Projektes ist das Studium von Triangulierungen konvexer Polytope. So wie jedes Polygon in der Ebene in Dreiecke zerlegt werden kann und jedes Polyeder im Raum in dreiseitige Pyramiden, so kann jedes Polytop (die höher-dimensionale Verallgemeinerung von Polygonen und Polyedern) in Simplizes (die höher-dimensionale Verallgemeinerung von Dreiecken und dreiseitigen Pyramiden) zerlegt werden. Eine derartige Zerlegung heißt Triangulierung und durch ein neues Resultat, konnte die Frage, unter welchen Umständen ein beliebiges Polytop eine Triangulierung besitzt, deren Simplizes eine vorgegebene Teilmenge der Eckpunkte des Polytops enthalten, erschöpfend geklärt werden. Dieses Resultat erlaubt die Bestimmung der Volumina einer bekannten unendlichen Familie von Polytopen, deren allgemeine Berechnung bis dahin nicht möglich war. Es existieren viele weitere Familien konvexer Polytope (etwa die so genannten Birkhoff Polytope), deren Volumina von großer Bedeutung in unterschiedlichen Bereichen sind, jedoch bis heute nicht bestimmt werden konnten. Zusätzlich zum Studium von arithmetisch dynamischen Systemen, ist die Berechnung der Volumina solcher Polytope ein weiteres Ziel dieses Projektes, wie auch die Weiterentwicklung des zugrundeliegenden geometrischen Resultates.

Arithmetisch dynamische Systeme, Polynome und Polytope Ein berühmtes mathematisches Problem, welches beinahe 80 Jahre nach seiner erstmaligen Formulierung durch den deutschen Mathematiker Lothar Collatz bis heute ungelöst bleibt, ist die nach ihm benannte Collatz-Vermutung, auch bekannt als das (3n+1)-Problem: Man wähle eine beliebige positive ganze Zahl und dividiere sie - sofern gerade - durch zwei; andernfalls multipliziere man sie mit drei und addiere eins. Wiederholt man nun diesen Vorgang genügend oft, gelangt man schließlich scheinbar unausweichlich zur Zahl Eins. Obwohl es für dieses Phänomen kein bekanntes Gegenbeispiel gibt und obwohl es zu dessen Verständnis nicht mehr braucht, als die Kenntnis der Grundrechenarten, bleibt es bis heute unbewiesen. Die beiden Regeln, welche den jeweiligen Nachfolger einer geraden oder ungeraden Zahl festlegen, bilden ein Beispiel eines arithmetisch dynamischen Systems und das (3n+1)-Problem ist dabei eine Vermutung über dessen letztliches Verhalten. Probiert man nun andere Regeln als jene im (3n+1)-Problem zur Definition eines arithmetisch dynamischen Systems, so finden sich Beispiele, für welche die Beantwortung der Frage nach deren letztlichem Verhalten von scheinbar jeder Schwierigkeit zwischen trivial und unmöglich sein kann. Eines der Ziele dieses Projektes ist es, diese Beispiele zu analysieren und zu kategorisieren, um ein besseres Verständnis der wahren Natur dieser drastisch verschiedenen Schwierigkeiten zu erhalten und um die Grenzen des Machbaren auszuloten. Dabei stellt sich heraus, dass es Verbindungen zwischen arithmetisch dynamischen Systemen und so genannten Permutationspolynomen gibt, welche dynamische Prozesse mit vergleichbaren Eigenschaften definieren. Ein weiteres Thema dieses Projektes ist das Studium von Triangulierungen konvexer Polytope. So wie jedes Polygon in der Ebene in Dreiecke zerlegt werden kann und jedes Polyeder im Raum in dreiseitige Pyramiden, so kann jedes Polytop (die höher-dimensionale Verallgemeinerung von Polygonen und Polyedern) in Simplizes (die höher-dimensionale Verallgemeinerung von Dreiecken und dreiseitigen Pyramiden) zerlegt werden. Eine derartige Zerlegung heißt Triangulierung und durch ein neues Resultat, konnte die Frage, unter welchen Umständen ein beliebiges Polytop eine Triangulierung besitzt, deren Simplizes eine vorgegebene Teilmenge der Eckpunkte des Polytops enthalten, erschöpfend geklärt werden. Dieses Resultat erlaubt die Bestimmung der Volumina einer bekannten unendlichen Familie von Polytopen, deren allgemeine Berechnung bis dahin nicht möglich war. Es existieren viele weitere Familien konvexer Polytope (etwa die so genannten Birkhoff Polytope), deren Volumina von großer Bedeutung in unterschiedlichen Bereichen sind, jedoch bis heute nicht bestimmt werden konnten. Zusätzlich zum Studium von arithmetisch dynamischen Systemen, ist die Berechnung der Volumina solcher Polytope ein weiteres Ziel dieses Projektes, wie auch die Weiterentwicklung des zugrundeliegenden geometrischen Resultates.