Regularitätstheorie in Algebren verallgemeinerter Funktionen

Die Theorie verallgemeinerter Funktionen hat eine lange und erfolgreiche Geschichte und ist heute ein unabdingbares Werkzeug in vielen Bereichen der Mathematik, insbesondere in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, der harmonischen Analyse und der mathematischen Physik. Ihr linearer Zweig, die Theorie der Distributionen, die von S. Sobolev und L. Schwartz begründet wurde, stellt sowohl eine gemeinsame Sprache als auch einen reichhaltigen Fundus von Techniken und Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen zur Verfügung, darunter vor allem die Theorie der Pseudodifferential- und Fourier-Integraloperatoren und die darauf aufbauende mikrolokale Analysis. Seit den frühen Achtzigerjahren haben J.F. Colombeau und seine Mitarbeiter eine nichtlineare Theorie verallgemeinerter Funktionen entwickelt, die einen konsistenten Rahmen zur Behandlung nichtlinearer Probleme in der Gegenwart von Singularitäten bietet. Dies wird durch die Einbettung der Schwartzschen Distributionen in geeignete Algebren verallgemeinerter Funktionen bewerkstelligt (die sogenannten Colombeau-Algebren), die optimale Erhaltungseigenschaften bezüglich klassischer Operationen aufweisen. Insbesondere bleiben sowohl Ableitungen als auch Produkte von glatten Funktionen unter der Einbettung erhalten. Die grundlegende Idee der Colombeauschen Konstruktion ist die Regularisierung von Distributionen durch Faltung mit geeigneten Glättungsfunktionen und die Darstellung analytischer Eigenschaften durch asymptotische Abschätzungen bezüglich eines Regularisierungsparameters. Colombeau-Algebren haben rasch mannigfache Anwendungen auf singuläre lineare und nichtlineare Probleme partieller Differentialgleichungen gefunden. Darüber hinaus wird die Theorie erfolgreich in mehreren anderen Anwendungsbereichen eingesetzt, darunter Differentialgeometrie in niedriger Regularität, allgemeine Relativitätstheorie, und Nichtstandard-Analysis. Ziel des Projektes ist es, die Regularitätstheorie in Algebren verallgemeinerter Funktionen voranzutreiben, indem neue mathematische Techniken in das Gebiet eingebracht werden. Gleichzeitig streben wir eine Vereinheitlichung mehrerer Zweige der Theorie in eine gemeinsame Forschungsrichtung an. Das Projekt wird diese Regularitätsfragen aus drei unterschiedlichen und komplementären Blickwinkeln behandeln: algebraisch, spektraltheoretisch, und funktionalanalytisch. Ziel ist es, eine zufriedenstellende Theorie der geometrischen Ausbreitung von Singularitäten zu entwickeln, die es ermöglicht, Fourier-Integraloperatoren auf nichtlineare hyperbolische Probleme anzuwenden. Das Projektteam wird aus Shantanu Dave, Michael Kunzinger, Eduard Nigsch, und Hans Vernaeve bestehen, die alle erfahrene Forscher sind und in den letzten Jahren substantielle Beiträge zur nichtlinearen Theorie verallgemeinerter Funktionen geleistet haben.

Ziel des Projektes war die Entwicklung neuer Zugänge zur Regularitätstheorie in Algebren verallgemeinerter Funktionen, einer Theorie die in den 1980er Jahren von J.F. Colombeau begründet worden war und seither Anwendungen in vielen Bereichen der Analysis, Geometrie und der Theorie der Differentialgleichungen gefunden hat. Die neuen Methoden sollten algebraischer und geometrischer Natur sein, sowie starke Bezüge zur Differentialgeometrie aufweisen. Diese Ziele wurden erreicht, wobei die folgenden neuen Forschungszweige entwickelt wurden: 1.) Regularitätstheorie von Rockland-Operatoren: Es handelt sich hier um einen geometrischen Zugang zur Regularitätstheorie, der sich auf Arbeiten von Alain Connes und anderen stützt und von S. Dave und S. Haller enwickelt wurde. Das ursprüngliche Problem wird hier auf filtrierten Mannigfaltigkeiten studiert unter Verwendung von Methoden der Spektraltheorie. Anwendungen findet diese Theorie auf eine sehr allgemeiner Klasse von Differentialoperatoren, sogenannte Rockland-Operatoren. 2.) Neudefinition und Weiterentwicklung der Colombeau-Algebren: Hier wurde ein völlig neuer Zugang zur nichtlinearen Theorie verallgemeinerter Funktionen entwickelt, der jedoch parallel zur klassischen Analysis verläuft. Der wesentliche Unterschied besteht darin, dass der zugrunde liegende Zahlenbereich nun nicht-Archimedisch ist (es handelt sich um den sogenannten Colombeau-Robinson Ring der verallgemeinerten Zehlen). Das bedeutet, dass in diesem Zahlenbereich sowohl unendlich kleine als auch unendlich große Zahlen inbegriffen sind. Dies ermöglicht es, aus der Physik seit langem bekannte heuristische Argumente mathematisch rigoros zu beweisen und erlaubt einen höchst intuitiven Zugang zu diesen Theorien, der die Anwendung auf konkrete Probleme der Physik deutlich erleichtert. Basierend auf dieser grundlegenden Idee wurde im Rahmen des Projektes eine Neubegründung der Colombeauschen Theorie entwickelt, die einen direkten Transfer einer großen Anzahl an Resultaten der klassischen Analysis erlaubt, nun jedoch für Anwendungen, in denen singuläre Größen eine wichtige Rolle spielen. Es ist außerdem gelungen, diesen neuen Zugang in einen sehr allgemeinen, von A. Grothendieck entwickelten Rahmen zu stellen, nämlich den der Topos-Theorie. In weiteren Schritten wurden die hier gewonnenen Erkenntnisse zunächst auf gewöhnliche Differentialgleichungen und danach auch auf partielle Differentialgleichungen angewendet. In der Zwischenzeit haben sich diese theoretischen Entwicklungen als äußerst fruchtbar herausgestellt und eine ganze Reihe von Folgearbeiten sind im Entstehen. 3.) Funktionalanalytischer Zugang zu Colombeau-Algebren: In diesem Projektteil, der federführend von Eduard Nigsch entwickelt wurde, ging es um die Einführung neuer, funktionalanalytischer Methoden in die Theorie der Algebren verallgemeinerter Funktionen. In diesem Zugang werden verallgemeinerte Funktionen als Abbildungen von Glättungsoperatoren in Algebren von glatten Funktionen neu interpretiert. Dies eröffnet die Möglichkeit, alle bisher bekannten Varianten der Colombeauschen Theorie zu vereinheitlichen. Außerdem können innerhalb dieses Zuganges zentral wichtige Operationen der Riemann- und Lorentzgeometrie wie kovariante Ableitungen und Krümmungsoperatoren definiert und studiert werden. Dies wurde dann auf relevante Probleme der allgemeinen Relativitätstheorie angewandt, insbesondere auf String-artige singuläre Raumzeiten. Die im Rahmen des Projektes entwickelten Resultate haben außerdem Anwendung auf Probleme der gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen gefunden.