Entwicklung eines rigorosen globalen Verfahrens für MINLPs

Das Ziel dieses Projektes ist die Erforschung spezieller Optimierungsverfahren und die Entwicklung einer neuenOptimierungssoftware.Wir lösen Probleme,die nichtlineare Relationen zwischen Entscheidungsvariablen modellieren. Solche nichtlinearen Probleme treten in vielen Gebieten der Wissenschaft, des Ingenieurswesens, der Wirtschaft, etc., auf. Darüber hinaus beschäftigen wir uns mit Problemen, in denen manche Variablen jeden Wert in einem vorgegebenen Intervall annehmen können (sogenannte kontinuierliche Variablen), während es anderen nur erlaubt ist, ganzzahlige Werte anzunehmen. Letztere Variablen tauchen sehr oft in Anwendungen auf, z.B. wenn man Größen modellieren möchte, bei denen nur ganzzahlige Werte Sinn haben, um Ja/Nein-Entscheidungen zu repräsentieren (z.B. Variablen, die nur die Werte 0 und 1 annehmen können), oder um verschiedene Zuordnungen zu modellieren. Unsere Optimierungsverfahren zielen darauf ab, jene Werte der Entscheidungsvariablen zu finden, die die absolut beste, global optimale, Lösung des Problems ergeben. Weiters entwickeln wir Algorithmen, die mit dem Phänomen umgehen können, dass nicht alle Zahlen exakt in einem Computer repräsentiert werden können, was als Konsequenz hat, dass die Ergebnisse von Computerberechnungen numerische Fehler aufweisen können. Mit unserer Methodik werden die Lösungen in der Form von Intervallen berechnet, die immer das mathematisch exakte Resultat enthalten. Während der letzten Dekade haben wir an einem Optimierungs-Framework, genannt das `COCONUT Environment`, gearbeitet, das bereits viele Methoden zur Intervallrechnung und eine Vielzahl an Werkzeugen enthält, die die Entwicklung darauf basierender Optimierungssoftware unterstützen. Basierend auf diesen Werkzeugen haben wir in der letzten Zeit eine Software entwickelt, die coco_gop_ex heißt und die sich auf einer Unterklasse der Probleme als konkurrenzfähig zu den besten verfügbaren Algorithmen erwiesen hat. Das Hauptziel dieses Projektes ist es, neue Methoden zu erforschen und zu implementieren, mit denen coco_gop_ex so weiterentwickelt wird, dass es alle oben erwähnten Problemklassen (mit kontinuierlichen und ganzzahligen Variablen) lösen kann. Nach bestem Wissen wäre das die erste Software, die solche Probleme zu globaler Optimalität und mit mathematischer Exaktheit lösen könnte. Weiters planen wir, die Basis des COCONUT Environment zu verbessern, sodass andere unsere Intervallverfahren für die Implementation eigener Software nützen können. Dabei hoffen wir, dass wir Wissenschaftler aus anderen Gebieten gewinnen können, die unsere Methoden und Software nützlich für die Lösung ihrer Anwendungsprobleme finden.

Entwicklung eines rigorosen globalen Optimierungsverfahrens für gemischt-ganzzahlige nichtlineare Probleme Dr. Mihly Csaba Markt, University of Vienna Das Projekt zielte auf die Entwicklung neuartiger Methoden zur Lösung von nichtlinearen und gemischt-ganzzahligen nichtlinearen Programmierproblemen ab. Wir zielten auf Probleme ab, bei denen eine sogenannte vollständige globale Suche erforderlich war. Solche Methoden sollen alle globalen Optimierer eines Problems finden und beweisen, dass sie tatsächlich global sind, oder eine optimierungsbezogene mathematische Aussage auf einem Computer verifizieren. Wir haben auch neue Computeralgorithmen entwickelt, die Teil von Allzwecklösern sein werden. Wir haben neue Intervallalgorithmen für die 'Verallgemeinerte Disjunktive Programmierung' (VDP) geliefert, das ist eine alternative Formulierung für viele gemischt-ganzzahlige nichtlineare Programmierprobleme. Wir haben dies angegangen, indem wir Intervallerweiterungen für logische Operatoren eingeführt haben. Wir haben Funktionen für die Intervallauswertung von Disjunktionen, Konjunktionen, exklusiven Disjunktionen, Negationen und Konditionalen abgeleitet. Die neuen Operatoren erweitern die Fähigkeiten von rigorosen globalen Optimierungslösern. Basierend auf diesen Ergebnissen haben wir auch ein spezialisiertes Verfahren zur Lösung von VDPs mit mathematischer Strenge vorgeschlagen. Wir veranschaulichten die Möglichkeiten des neuen Ansatzes, indem wir kleine Beispiele aus der Literatur lösten. In einer weiteren Studie haben wir Methoden für computergestützte Beweise entwickelt, um optimale Anordnungen von Punkten auf der Kugel zu finden. In dieser Forschung wurde eine neue Intervalldarstellung der Teilmengen des Suchraums eingeführt. Die Leistungsfähigkeit der neuen Methodik wurde durch die Lösung des berühmten dreidimensionalen Kusszahlenproblems (auch als 13-Sphären Problem bekannt) auf einem Computer demonstriert. Ein weiterer wichtiger Teil der Forschung war die 'Prozess-Netzwerk-Synthese' (PNS). Dies ist das Forschungsgebiet des Entwurfs eines Systems, das eine gegebene Menge von Produkten aus einer gegebenen Menge von Rohmaterialien herstellt, indem ein Netzwerk verschiedener Betriebseinheiten angewendet wird. Das Ziel besteht darin, diejenige der Netzwerkstruktur sowie der Parameter der beteiligten Betriebseinheiten zu finden, die im Hinblick auf eine gewisse Kostenfunktion optimal ist. Im Projekt wurde das Auslegungsproblem eines 'Abwasserbehandlungsnetzes' betrachtet. In Zusammenarbeit mit Chemieingenieuren war unsere Aufgabe geeignete Modellierungs- und Optimierungsmethoden vorzuschlagen, die mit den Modell-Nichtlinearitäten und verschiedenen anderen Berechnungsschwierigkeiten fertig werden.