Asymptotische Methoden in der Optionsbewertung

Die Finanzindustrie, aber auch Regulatoren, verwendet vielfach stark vereinfachte stochastische Modelle; oft das 40 Jahre alte Black-Scholes-Modell. Die Finanzkrise hat dramatisch verdeutlicht, dass diese Praxis aufgegeben werden muss, und dass es ein Hauptziel der akademischen Forschung sein sollte, Praktikern bessere, aber verwendbare Modelle in die Hand zu geben. Je fortgeschrittener und genauer ein Modell ist, desto eher ist es nützlich, die Preise und andere Ergebnisse des Modells asymptotisch, also näherungsweise, zu untersuchen. Asymptotische Näherungen erlauben qualitativ und numerisch Zugang zu schlecht handhabbaren Problemen. Die schnelle Kalibrierung fortgeschrittener Modelle an Marktdaten ist ein wichtiger Punkt für Praktiker. Wir wenden analytische Methoden auf dieses Problem an, wobei ein Schwerpunkt auf der Behandlung von amerikanischen Optionen liegt. Dies ist nicht im geographischen Sinne zu verstehen; vielmehr erlauben amerikanische Optionen ihrem Inhaber, das Optionsrecht jederzeit (und nicht nur zur Fälligkeit) auszuüben. Während es mehr akademische Literatur zu europäischen Optionen gibt (Ausübung nur zur Fälligkeit), sind in der Praxis Optionen auf einzelne Aktien fast immer vom amerikanischen Typ. Ein weiteres Forschungsfeld sind Modelle, die auf fraktioneller Brownscher Bewegung aufbauen, und die in den letzten Jahren sehr populär geworden sind. Sie tragen der Tatsache Rechnung, dass sich Aktienkurse nicht unabhängig von ihrem historischen Verlauf entwickeln. Auch hier wollen wir durch asymptotische Analysen die praktische Anwendbarkeit der Modelle verbessern.

In diesem Projekt wurden vor allem finanzmathematische Probleme studiert. Eines der zentralen Ergebnisse ist die Analyse eines neuen Finanzmarktmodells, welches für die Praxis attraktive Eigenschaften hat, etwa die Modellierung von Abhängigkeiten zwischen künftigen und vergangenen Preisentwicklungen. Solche Modelle werden zur Bewertung von Optionen eingesetzt, und es wurde eine Näherungsformel für Optionspreise entwickelt. In Banken besteht zur Zeit großes Interesse an neuartigen Finanzmarkt-Modellen, die besser zu den am Markt beobachteten Kursverläufen passen als die klassischen Modelle. Zur Analyse des Modells wurden verschiedene mathematische Werkzeuge eingesetzt und verfeinert. Solche Näherungsformeln können vielfältig eingesetzt werden. Jedes Modell hängt von zunächst unbekannten Größen, den Parametern, ab. Zum einen muss eine Bank, die ein Modell verwendet, diese Parameter an Marktdaten anpassen. Eine Approximationsformel kann diesen Vorgang entscheidend effizienter machen. Zum anderen sind qualitative Aussagen von Interesse, welche die vom Modell ausgegebenen Optionspreise mit den Parameterwerten in einen transparenten Zusammenhang bringen. Die Ergebnisse unserer Untersuchungen wurden in einer guten mathematischen Zeitschrift veröffentlicht. Weiters wurde eine neue Variante eines klassischen Satzes der Wahrscheinlichkeitstheorie, des sogenannten Gesetz des iterierten Logarithmus, gefunden. Der neue Satz gehört zur Theorie der großen Abweichungen, welche sich zum Beispiel mit Fragestellungen folgenden Typs beschäftigt: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei vielen Münzwürfen nur bei jedem zehnten Wurf, oder seltener, Kopf geworfen wurde (statt der erwarteten 50 Prozent)? In der Arbeit in diesem Projekt ging es um die Wahrscheinlichkeit, dass ein skalierter stochastischer Prozess über kurze Zeiträume hinweg ein ungewöhnliches Verhalten zeigt. Diese Arbeit ist der theoretischen Wahrscheinlichkeitstheorie zuzuordnen. Weitere Forschungsergebnisse wurden in der Transporttheorie erzielt. Diese Bezeichnung kommt von technischen Anwendungen; aus finanzmathematischer Sicht geht es um Folgendes: Man modelliert die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Wertpapiers zu zwei oder mehr Zeitpunkten in der Zukunft. Als Quelle dienen Preise von am Markt gehandelten Optionen. Wie erhält man nun Informationen über die Wahrscheinlichkeiten für andere Zeitpunkte? Welche Bedingungen müssen diese Wahrscheinlichkeiten erfüllen? Hier wurden mehrere theoretische Fragen beantwortet, die auch Einfluss auf die weitere Entwicklung der finanzmathematischen Anwendung der Transporttheorie haben könnten.