Mathematische Bildgebung mit Nanopartikeln als Kontrastmittel

Inhalt. Konventionelle bildgebende Verfahren wie zum Beispiel Mikrowellen-Imaging sind fähig, wichtige Anzeichen von Brustkrebs zu erkennen, etwa wenn ein hoher Kontrast in der Permittivität zwischen gesundem und bösartigen Gewebe vorliegt. Im Gegensatz dazu ist bei gutartigem Gewebe die Schwankung in der Permittivität gering, sodass diese bildgebenden Modalitäten nur begrenzt zur Früherkennung solcher Störungen verwendet werden können. Als Ersatz dafür wurde vorgeschlagen, elektromagnetische Nanopartikel als Kontrastgeber einzusetzen. Das Ziel dieses Projekts ist es, eine mathematische Analyse solcher bildgebenden Modalitäten auszuarbeiten und mit hoher Genauigkeit die innere elektrische Permittivität aus Messungen des Fernfeldes zu berechnen. Hypothesen. Für dieses Projekt behandeln wird den Fall, dass die eingesetzten Nanopartikel eine hohen Kontrast im Vergleich zum Hintergrund haben. Mehrere Möglichkeiten solcher Nanopartikel sind in der Literatur dokumentiert. Wir betrachten zwei Arten solcher bildgebenden Modalitäten. 1) Die Injektion elektrischer Nanopartikel in die Zielregion führt zu einer lokalen Verstärkung des elektrischen (und daher magnetischen) Feldes. Die Idee ist, aus dem gemessen elektrische Fernfeld, das verstärkte lokale Feld zu rekonstruieren und damit auch die Permittivität am Ort der Nanopartikel. 2) Werden injizierte Nanopartikel (zum Beispiel Gold) mit bestimmten Frequenzen angeregt, erzeugen sie Wärme in ihrer Umgebung, welche wiederum eine sich ausbreitende Druckwelle verursacht. Die Idee ist es, diese Druckwelle außerhalb des Zielgewebe zu messen und danach die Permittivität am Ort der Nanopartikel zu rekonstruieren. Methoden. Aus mathematischer Sicht müssen die (akustischen oder elektromagnetischen) Felder analysiert werden, die zwischen hohen Kontrastunterschieden entstehen. Unser Ansatz basiert auf der Herleitung der Punkt-Interaktions-Näherung dieser Felder im Fall endlicher, sehr kleiner aber hochkontrastierender Medien. Die Analyse basiert auf der Methode der Integralgleichungen und der asymptotischer Entwicklung. Neuheit des Projekts. Der Vorteil unseres Zugangs im Vergleich zu anderen bekannten Techniken besteht darin, dass wir das dominante Feld, das bei der Interaktion der Partikel untereinander und mit dem Hintergrundmedium entsteht, sehr klar charakterisieren können. Die Neuheit liegt darin, dass wir die Felder der Mehrfachinteraktionen der Nanopartikel (zumindest bis zur zweiten Ordnung) behandeln können. Die erhaltenen Formeln kodieren die Werte der Greenschen Funktion im Zentrum der Nanopartikel auf präzise und nützliche Weise. Die Werte der gesuchten elektrischen Permittivität können aus den Singularitäten dieser Greenschen Funktionen rekonstruiert werden. Der zu bezahlende Preis für solche Formel ist, dass Frequenzen nahe an den Resonanzen verwendet werden müssen.

Motivation. Der EinsatzvonKontrastmitteln(als Gas blasen, Flüssigkeitströpfchen oder elektromagnetische Nanopar- tikel) wurde in den letzten zwei Jahrzehnten von der Ingenieursgemeinschaft vorgeschlagen und kürzlich umfassend weiterentwickelt, um die Qualitätherkömmlicher Bildgebungsmodalitäten, Arzneimittelabgabe und Therapie zu verbessern. Unser Ziel in diesem Vorschlag bestand ursprünglich darin, mathematisch zu modellieren, zu analysieren und zu quan- tifizieren, inwieweit solche Techniken tatsächlich über das hinausgehen können, was die traditionellen bildgebenden Verfahren bieten können. Es ist bekannt, dass die herkömmlichen Methoden möglicherweise in der Lage sind, Merkmale bei starken Kontrasten zwischen dem geschädigten und dem gesunden Gewebe zu extrahieren. Bei geringen Kontrasten, etwa bei Anomalien im Frühstadium, sind solche Erkennungen jedoch nicht möglich. Um diesen fehlenden Kontrast zu beheben, wurde empfohlen, wann immer möglich, injizierte Kontrastmittel zu verwenden. UnserAnsatz. Die Bildgebungsmodalitäten, über die wirsprechen, werden im Rahmen der Wellen ausbreitungbeschrieben. Typische Bildgebungsmodalitäten, die wir eingehend untersucht haben, sind solche im Zusammenhang mit der Ultra- schallbildgebung, der optischen Bildgebung oder hybriden Bildgebungsverfahren wie der fotoakustischen Bildgebung. Die entsprechenden Kontrastmittel sind kleine Objekte, die im Vergleich zu normalem oder gesundem Gewebe hohe Kontrasteigenschaften aufweisen. Es kommt vor, dass diese Kontrastmittel bei einem kritischen Verhältnis zwischen ihrer Grösse und den richtigen Kontrasten bei bestimmten Frequenzen (Resonanzen genannt) in Resonanz treten. Die gute Nachricht ist, dass wir diese Resonanzfrequenzen charakterisieren und quantifizieren können. Wenn wir also die Differenz zwischen den Wellen betrachten, die vor und nach der Injektion der Wirkstoffe erzeugt werden, 'sehen' wir lokale Flecken um das injizierte Kontrastmittel. Diese lokalen Spots kodieren alle Informationen, die man sehen kann. Mathematisch gesehen müssen wir die Störung der Wellenfelder in Gegenwart solcher Kontrastmittel analysieren und dann aus den oben beschriebenen Punkten die erforderlichen Materialkoeffizien- ten des abzubildenden Objekts in der Nähe der Standorte der Kontrastmittel extrahieren. Das Ergebnis. Wir haben drei Bildgebungsmodalitäten detailliert analysiert, nämlich die Ultraschallbildgebung mit Blasen und die optische sowie die fotoakustische Bildgebung mit Nanopartikeln. Die wichtigsten Merkmale unserer Analyse sind die folgenden: 1. In den zeitharmonischen Einstellungen konnten wir die Dispersionsfunktion und damit die durch die Kontrast- mittel erzeugten Resonanzen erkennen und rekonstruieren. Aus diesen dispersiven Funktionen könnten wir die akustischen und optischen Eigenschaften des abzubildenden Objekts extrahieren. 2. In den Zeitbereichseinstellungen konnten wir die internen Werte der Reisezeitfunktion erkennen und wiederher- stellen. Diese Funktion modelliert die Zeit, die eine Welle benötigt, um sich zwischen zwei beliebigen Standort- punkten auszubreiten. Mit einer solchen Laufzeitfunktion leiten wir die entsprechende Wellengeschwindigkeit ab und rekonstruieren dann sowohl die akustischen als auch die optischen Eigenschaften des abzubildenden Objekts. Unsere Ergebnisse liefern einen soliden mathematischen Hintergrund für diese Bildgebungsmodalitäten. Liefern wir quantitative Ergebnisse, die weit über die bekannten Ergebnisse hinausgehen, die auf der Grundlage traditioneller Bildgebungsmodalitäten erzielt wurden. Unser Ansatz ist flexibel, um auf anspruchsvollere Situa- tionen angewendet zu werden, die in Zukunft untersucht werden.