Zweidimensionale Optimierungsprobleme in der Versicherungsmathematik

Ein Versicherungsunternehmen, das seine Geschäftsaktivitäten für die Zukunft plant, sollte zuerst eine Bewertung der aktuellen Situation vornehmen. In der Versicherungsmathematik werden dazu hauptsächlich zwei Ansätze verwendet. Der erste geht auf F. Lundberg zurück und versucht die Wahrscheinlichkeit für den Ruin des Unternehmens abzuschätzen. Dazu ist es notwendig, ein probabilistisches Modell für die Zeitentwicklung des Unternehmensvermögens zu entwickeln. In Abhängigkeit von der Komplexität des Modelles ist es nun möglich, explizite Ausdrücke, approximative Werte oder obere Schranken für die Ruinwahrscheinlichkeit anzugeben. Der zweite Ansatz geht auf den italienischen Aktuar B. de Finetti zurück. Er hielt den obigen Ansatz für zu konservativ und schlug daher eine Alternative vor: Das Unternehmen sollte danach beurteilt werden, wieviel Dividenden es in Zukunft seinen Aktieninhabern auszahlen könne.Wieder sind, in Abhängigkeit von der Natur des probabilistischen Modells, mehr oder weniger explizite Resultate für die optimale Dividendenstrategie, bzw. den maximale Wert der ausbezahlten Dividenden möglich. Die oben beschriebenen Überlegungen betrafen die eindimensionale Situation, d.h., man betrachtet ein Versicherungsunternehmen und seinen Vermögensprozess. Dies ist mittlerweile gut verstanden, ganz im Gegensatz zum höherdimensionalen Fall, wo man versucht Abschätzungen für die Ruinwahrscheinlichkeit oder optimale Dividendenstrategien für mehrere Unternehmen zu finden. Erst in den letzten Jahren gab es dazu Publikationen. Das Ziel unseres Projektes ist es, in diese Richtung zu forschen, und insbesondere den zweidimensionalen Fall zu analysieren. Abschließend wollen wir noch kurz ein konkretes Problem beschreiben, nämlich die Dividendenoptimierung für zwei Versicherungsunternehmen. In unserem Modell sollen den Unternehmen nicht nur Dividendenauszahlungen ermöglicht werden, sondern es soll ihnen auch erlaubt sein, zusammenzuarbeiten. Damit ist gemeint, dass, falls die Situation für das Unternehmen A kritisch wird, es dem Unternehmen B erlaubt sein soll, durch Transferzahlungen zu helfen. Ziel ist es, die Gesamtdividendenzahlungen beider Firmen zu maximiereren. Mathematisch gesehen geht es darum, die optimalen Zeitpunkte für die Transferzahlungen herauszufinden. Ähnliche Probleme können auch für den Ruinwahrscheinlichkeitsansatz formuliert werden.

Ein Versicherungsunternehmen, das seine Geschäftsaktivitäten für die Zukunft plant, sollte zuerst eine Bewertung der aktuellen Situation vornehmen. In der Versicherungsmathematik werden dazu hauptsächlich zwei Ansätze verwendet. Der erste geht auf F. Lundberg zurück und versucht, die Wahrscheinlichkeit für den Ruin des Unternehmens abzuschätzen. Dazu ist es notwendig, ein probabilistisches Modell für die Zeitentwicklung des Unternehmensvermögens zu entwickeln. Der zweite Ansatz wurde von dem italienischen Aktuar B. de Finetti eingeführt, da er den obigen Ansatz für zu konservativ hielt. Seine Alternative: Das Unternehmen sollte danach beurteilt werden, wie viele Dividenden es in Zukunft an seine Aktieninhabern auszahlen könne. Die oben beschriebenen Überlegungen betreffen die eindimensionale Situation, d.h.\ man betrach\-tet nur ein Versicherungsunternehmen und seinen Vermögensprozess. In unserem Projekt haben wir den in der Literatur wenig untersuchten Fall von zwei Unternehmen, die zusammenarbeiten dürfen, untersucht. Das bedeutet, dass falls die Situation für das Unternehmen A kritisch wird, ist es dem Unternehmen B erlaubt, durch Transferzahlungen zu helfen. Das Ziel beider Firmen ist es, die Ruinwahrscheinlichkeit zu minimieren. In unserem einfachsten Modell ist es optimal, dass die Firma mit dem aktuell niedrigeren Vermögen maximal durch die andere Firma unterstützt wird. In allgemeineren Modellen können wir ebenso eine optimale Strategie angeben. Auch lässt sich die minimale Ruinwahrscheinlichkeit in einigen Fällen explizit berechnen. Werden Transferzahlungen mit dem Ziel, die Gesamtdividendenzahlungen zu maximieren, geleistet, so können wir die optimale Strategie, also die Höhe der Transferzahlungen und der Dividenden zu jedem Zeitpunkt, in unserem Modell explizit beschreiben.