Exotische Calabi-Yaus aus supersymmetrischen Eichtheorien

Calabi-Yau-Räume spielen eine zentrale Rolle in Stringtheorie und Mathematik. Eine der großen Fragen der modernen theoretischen Physik ist, ob es eine Theorie gibt, die alle Naturkräfte vereinigt. Derzeit ist die Stringtheorie der einzige Kandidat dafür. Die Gravitation und die Kräfte, die fuer die Wechselwirkungen der Elementarteilchen verantwortlich sind können mit derselben Theorie beschrieben werden. Grob gesprochen sind geschlossene Strings für die Gravitation verantwortlich, während offene Strings und ihre Randbedingungen, genannt D-branes, Teilchenwechselwirkungen beschreiben. Die Stringtheorie erfordert eine zehndimensionale Raumzeit, im Gegensatz zu unserer vierdimensionalen Welt. Deshalb benötigt man Stringkompaktifizierung. Das bedeutet, dass die zusätzlichen sechs Dimensionen aufgerollt und so klein sind, dass sie bis jetzt noch nicht nachgewiesen wurden. Das führt auf die mathematische Bedingung, dass die kompakten Dimensionen sogenannte Calabi-Yau-Räume sein müssen. Ihre mathematische Struktur hat großen Einfluss auf unsere vierdimensionale Welt. Sie bestimmt die Eigenschaften der Elementarteilchen und die Art ihrer Wechselwirkungen. Aufgund der Erkenntnisse der Stringtheorie haben Calabi-Yaus auch Eingang in die mathematische Forschung gefunden. Während viele Beispiele von Calabi-Yaus bekannt sind, gehören fast alle von ihnen zu einer speziellen Klasse. Weiters haben Calabi-Yaus freie Parameter, genannt Moduli. Für explizite Rechnungen ist es oft nötig diese auf spezielle Werte einzuschränken, an denen die verfügbaren theoretischen Methoden anwendbar sind. Wenn man sich auf derart spezielle Beispiele einschränkt, kann das natürlich zu einem falschen Verständnis davon führen was typische Eigenschaften von Stringkompaktifizierungen sind. Dieses Projekt in der Forschungsgruppe für Mathematische Physik an der Universität Wien befasst sich mit neuen Typen von Calabi-Yaus, ihren Moduliräumen und D-branes abseits bekannter Pfade. Wir kombinieren neue Methoden aus Stringtheorie, Quantenfeldtheorie und Mathematik um dieses schwierige Problem anzugehen. Insbesondere verwenden wir die Tatsache, dass man Calabi-Yaus mithilfe von bestimmten supersymmetrischen Eichtheorien beschreiben kann. Wir werden uns mit den folgenden Fragen in konkreten Beispielen befassen: Was sind die Eigenschaften von exotischen Calabi- Yaus, die nicht zur Klasse der Standardbeispiele gehören? Was können wir über die "obskuren" Regionen im Moduliraum lernen? Was sind die Eigenschaften von D-branes aud exotischen Calabi- Yaus in unterschiedlichen Bereichen des Moduliraums? Es ist zu erwarten, dass sich interessante Physik und Mathematik in diesen dunklen Ecken der Stringkompaktifizierungen versteckt. Unser Zugang benutzt die Konzepte der "physikalischen Mathematik", wo man Methoden aus der theoretischen Physik verwendet um neue mathematische Strukturen zu finden, die wiederum physikalische Anwendungen haben.

Das Hauptziel des Projekts war das Studium von Extradimensionen in der Stringtheorie, mit besonderem Fokus auf exotische Konfigurationen, die bisher noch nicht ausreichend verstanden waren. Stringtheorie ist eine Theorie, die die Möglichkeit bietet, alle bekannten fundamentalen Wechselwirkungen zu vereinigen, indem Punktteilchen durch Strings ersetzt werden. Selbstkonsistenz der Stringtheorie führt zur Notwendigkeit von Extradimensionen. Die Stringtheorie erfordert eine zehndimensionale Raumzeit, im Gegensatz zu unserer vierdimensionalen Welt. Deshalb benötigt man Stringkompaktifizierung. Das bedeutet, dass die zusätzlichen sechs Dimensionen aufgerollt und so klein sind, dass sie bis jetzt noch nicht nachgewiesen wurden. Das führt auf die mathematische Bedingung, dass die kompakten Dimensionen sogenannte Calabi-Yau-Räume sein müssen. Ihre mathematische Struktur hat großen Einfluss auf unsere vierdimensionale Welt. Sie bestimmt die Eigenschaften der Elementarteilchen und die Art ihrer Wechselwirkungen. Aufgrund der Erkenntnisse der Stringtheorie haben Calabi-Yau-Räume auch Eingang in die mathematische Forschung gefunden. Während viele Beispiele von Calabi-Yau-Räumen bekannt sind, gehören fast alle von ihnen zu einer speziellen Klasse. Weiters haben solche Räume freie Parameter, genannt Moduli. Für explizite Rechnungen ist es oft nötig, diese auf spezielle Werte einzuschränken, an denen die verfügbaren theoretischen Methoden anwendbar sind. Wenn man sich auf derart spezielle Beispiele einschränkt, kann das natürlich zu einem falschen Verständnis davon führen was typische Eigenschaften von Stringkompaktifizierungen sind. Ziel des Projekt war es, diese Einschränkungen zu entfernen und allgemeinere Konfigurationen zu studieren. Das wichtigste Werkzeug war eine supersymmetrische Theorie in zwei Dimensionen, das sogenannte geeichte lineare Sigmamodell. Es bietet die Möglichkeit mittels Standardmethoden der theoretischen Physik neuartige Calabi-Yau-Räume zu konstruieren und ihre Eigenschaften und die assoziierten Moduliräume zu studieren, sowie relevante physikalische Größen in Stringkompaktifizierungen zu berechnen. Im Rahmen des Projekts wurden diese Methoden erfolgreich eingesetzt. Ein wichtiges Resultat war die Konstruktion von neuartigen Calabi-Yau-Räumen ausserhalb der bekannten Klassen. Insbesondere wurden mithilfe von geeichten linearen Sigmamodellen Calabi-Yau-Räume konstruiert, die spezielle mathematische Eigenschaften haben, die davor nicht realisierbar waren. Ein weiteres Resultat war die Entdeckung gewisser universeller mathematischer Strukturen in physikalischen Größen in Calabi-Yau-Kompaktifizierungen, die in allen Bereichen der Moduliräume Gültigkeit haben. Weiters wurden die Techniken und Resultate verwendet um sogenannte Swampland-Vermutungen zu bestätigen und zu erweitern. Diese Vermutungen befassen sich mit der fundamentalen Frage, was die definierenden Eigenschaften von konsistenten Theorien der Quantengravitation, zu denen auch die Stringtheorie gehört, sind. Die Resultate sind in der internationalen wissenschaftlichen Gemeinschaft auf großes Interesse gestoßen und wurden auf diversen Forschungskonferenzen präsentiert. Die Ergebnisse wurden in namhaften wissenschaftlichen Fachjournalen publiziert. Die Mitglieder der Forschungsgruppe werden ihre Arbeit auf dem Gebiet fortsetzen.