Die Algebra der dreidimensionalen Bewegungen

Algebra spielt eine zunehmends bedeutende Rolle für das Verständnis von Phänomenen beweglicher starrer Körper im dreidimesionalen Raum, insbesondere solche die nur mit der Geometrie dieser Körper zusammenhängen und nicht von physikalischen Kräften, die zwischen ihnen wirken. Thema dieses Antrags ist die Erweiterung von solchen algebraischen Werkzeugen sowie deren Anwendung auf Fragen/Probleme, wie sie in der Kinematik und in der Robotik auftreten. Konkrete Hebelpunkte sind zwei Theorien, die vor Kurzem in die Kinematik eingebracht wurden, nämlich die Theorie der Faktorisierung der Bewegungspolynome und die Theorie der Bonds. Bewegungspolynome haben sich als nützlich erwiesen bei der Zerlegung von polynomial parametrisierten Bewegungen in rotationelle Bestandteile, jeweils um fixe Drechachsen. Die dazugehörende Faktorisierungstheorie soll auf verschiedene Weise verallgemeinert werden. Das Ziel ist, Mechanismen zu konstruieren, die eine vorgeschriebene Bewegung nachfahren. Für beschränkte ebene Bewegungen wurde eine solche Konstruktion in einem Vorprojekt entwickelt. Die Theorie der Bonds wurde entwickelt, um unerwartete Beweglichkeit von einfach geschlossenen Mechismen mit Drehgelenken zu erklären. Hier ist eine Verallgemeinerung auf Mechanismen von komplexerer Struktur geplant, wie etwa die flexiblen Realisierung von Graphen oder Polyedern.

Es gibt mehrere Arten von Komposition von Bewegungen im dreidimensionalen Raum. Die Komposition, die in diesem Projekt untersucht wurde, und die wir kinematische Komposition nennen, hängt damit zusammen, dass eine Bewegung die relative Position eines starren Körpers in Bezug auf einen anderen starren Körper zu einem gegebenen Zeitpunkt beschreibt. Die Komposition einer Bewegung, die die Position des KörpersA in Bezug auf Körper B beschreibt, und einer Bewegung, die die Position des Körpers B in Bezug auf KörperC beschreibt, ist eine Bewegung, die die Position des Körpers A in Bezug auf Körper C beschreibt. Andererseits können Bewegungen als Funktionen von einer reellen Zeitvariablen in die Gruppe der euklidischen Kongruenztransformationen modelliert werden. Wenn diese Funktion polynomial oder rational ist, dann kann sie durch ein Polynom in einer Variablen über der Schief-Algebra der dualen Quaternionen ausgedrückt werde. Eine für das Projekt grundlegende Tatsache ist, dass die nichtkommutative Multiplikation dieser Polynome genau der kinematischen Komposition der Bewegungen entspricht. Dieser Zusammenhang zwischen Kinematik und Algebra erlaubt überraschend einfache und explizite Lösungen von Aufgaben in der Kinematik, etwa die Synthese von kinematischen Ketten, die eine vorgegebene Bewegung erzeugen. Eine sehr allgemeine mathematische Beschreibung von Gelenksgetrieben verwendet bewegliche Graphen. Man stellt sich die Kanten als feste Körper vor, die an den Knoten miteinander verbunden sind. In der zweidimensionalen Ebene sind diese Verbindungen Drehgelenke, und im dreidimensionalen Raum sind sie Kugelgelenke. Wir entwickelten eine Theorie von Kantenfärbungen der Graphen, die die Beweglichkeit von Graphen in der Ebene oder auf der Kugel näher bestimmt. Diesen Zugang verallgemeinerten wi für den Fall der beweglichen Polyeder, indem die orientierten Kanten des Polyeders so skaliert wird, dass sie Einheitslänge haben; dadurch wird der Fall der beweglichen Polyeder auf den Fall der beweglichen Graphen auf der Kugel zurückgeführt.