Symbolische Lösungen algebraischer Differentialgleichungen

In diesem Projekt befassen wir uns mit mathematischen Algorithmen zur Bestimmung symbolischer Losungsformeln fur algebraische Differentialgleichungen (algebraic differen- tial equations, ADEs). Eine ADE ist eine polynomiale Relation zwischen einer Funk- tion, einigen ihrer Ableitungen und eventuell der Variablen, uber welche diese Funktion definiert ist. Die Losung von Differentialgleichungen ist eines der wichtigsten Probleme in der Mathematik. Es gibt unzahlige Anwendungen in den Natur-, Ingenieurs- und den Finanzwissenschaften. Schon seit dem 18. Jahrhundert befassten sich Euler, dAlembert, Lagrange und Laplace mit Differentialgleichungen als Werkzeug zur Beschreibung von Kontinuumsmechanik, und ganz allgemein zur Modellierung in den physikalischen Wis- senschaften. Die Analyse physikalischer Modelle ist bis heute eine Triebfeder zur Wei- terentwicklung von Differentialgleichungen. Jedoch beginnend im 19. Jahrhundert, ins- besondere mit den Arbeiten von Riemann, wurden Differentialgleichungen auch zu einem essentiellen Werkzeug in anderen Zweigen der Mathematik. Heute spielen sie etwa eine wichtige Rolle in der Modellierung von Finanzmarkten. Wir nehmen den Standpunkt der Computer-Algebra ein; d.h. typischerweise wollen wir eine Formel fur eine Losungsfunktion berechnen, und nicht nur numerische Werte an speziellen Punkten. Unser algebro-geometrischer Ansatz involviert Konzepte der differen- tiellen Algebra, der algebraischen Geometrie und der Computer-Algebra. Einer gegebenen algebraischen gewohnlichen Differentialgleichung (gesucht ist also eine Funktion in einer Variablen) ordnen wir eine Hyperflache zu, die sogenannte Losungshyperflache. Eine polynomiale/rationale/radikale/algebraische Losung der Differentialgleichung erzeugt eine polynomiale/rationale/radikale/algebraische parametrische Kurve auf der Losungshyper- flache. Wir trachten die Existenz einer solchen parametrischen Kurve zu entscheiden, und gegebenenfalls eine solche zu bestimmen. Ganz konkret wollen wir fur gewohnliche ADEs erster Ordnung alle polynomialen und rationalen Losungen finden, und auch Potenzreihenlosungen finden. Daruber hinaus beabsichtigen wir unsere algebro-geometrische Methode zu verallgemeinern auf algebra- ische partielle Differentialgleichungen; d.h. gesucht werden Funktionen in mehreren Vari- ablen. Schließlich werden wir unseren Ansatz auch in einem Computer-Algebra System wie Maple oder Mathematica implementieren. Wir sind uberzeugt in diesem Projekt die Grenzen der Forschung zur symbolischen Losung von Differentialgleichungen erweitern zu konnen, und dadurch fur die Wissenschaft ein wertvollen Werkzeug zur Verfugung zu stellen.

Zusammenfassung fuer die Oeffentlichkeitsarbeit Projekt ADE-solve ({P31327-N32}) Franz Winkler In diesem Projekt haben wir uns mit mathematischen Algorithmen zur Bestimmung symbolischer L\"osungsformeln f\"ur algebraische Differentialgleichungen (algebraic differential equations, ADEs) befasst. Eine ADE ist eine polynomiale Relation zwischen einer Funktion, einigen ihrer Ableitungen und eventuell der Variablen, \"uber welche diese Funktion definiert ist. Die L\"osung von Differentialgleichungen ist eines der wichtigsten Pro\-bleme in der Mathematik. Es gibt unz\"ahlige Anwendungen in den Natur-, Ingenieurs- und den Finanzwissenschaften. Schon seit dem 18. Jahrhundert befassten sich Newton, Leibniz, Euler d'Alembert, Lagrange und Laplace mit Differentialgleichungen als Werkzeug zur Beschreibung von Kontinuumsmechanik, und ganz allgemein zur Modellierung in den physikalischen Wissenschaften. Die Analyse physikalischer Modelle ist bis heute eine Triebfeder zur Weiterentwicklung von Differentialgleichungen. Jedoch beginnend im 19. Jahrhundert, insbesondere mit den Arbeiten von Riemann, wurden Differentialgleichungen auch zu einem essentiellen Werkzeug in anderen Zweigen der Mathematik. Heute spielen sie etwa eine wichtige Rolle in der Modellierung von Finanzm\"arkten. In unserem Zugang nehmen wir den Standpunkt der Computer-Algebra ein; d.h. ty\-pi\-scherweise wollen wir eine Formel f\"ur die L\"osungsfunktion berechnen, und nicht nur numerische Werte an speziellen Punkten. Unser algebro-geometrischer Ansatz involviert Konzepte der differentiellen Algebra, der algebraischen Geometrie und der Computer-Algebra. Einer gegebenen algebraischen gew\"ohnlichen Differentialgleichung (algebraic ordinary differential equation, AODE) ordnen wir eine Hyperfl\"ache (Kurve oder Fl\"ache) zu. Aus einer Parametrisierung dieser Hyperfl\"ache leiten wir dann wenn m\"oglich eine L\"osung der gegebenen AODE her. Wir k\"onnen entscheiden, ob die gegebene AODE eine rationale L\"osung besitzt, oder eine algebraische bei gegebener Ordnung der K\"orpererweiterung, oder eine L\"osung als Potenzreihe. Dar\"uber hinaus k\"onnen wir allgemeine L\"osungen, abh\"angig von einem Parameter, bestimmen und somit (fast) alle L\"osungen eines bestimmten Typs beschreiben. Unsere Ergebnisse haben wir im Computer-Algebra System MAPLE implementiert. Dadurch haben wir es f\"ur Anwendungen in anderen Gebieten der Mathematik und der Naturwissenschaften zug\"anglich gemacht.