Pseudokinematische Invarianten - Kleinode in FE Berechnungen

Invarianten sind wahre Schätze nicht nur der Naturwissenschaften! Das Wissen um sie kann ihre Berechnung beträchtlich erleichtern. Die ersten Invarianten, mit denen Studierende der Mechanik üblicherweise konfrontiert werden, sind die drei Invarianten des Spannungstensors. Bei einer Änderung des zu ihrer Berechnung verwendeten Koordinatensystems bleiben sie unverändert. Davon unterscheidet sich die in diesem Forschungsprojekt hypothetisch angenommene Invarianz von Beschleunigung und Anfangsgeschwindigkeit eines fiktiven Partikels, das sich auf einer ursprünglich unbekannten, gewundenen Kurve auf der Einheitskugel ungleichförmig bewegt. Diese Kurve wird von der Spitze eines Einheitsvektors beschrieben. Die vermuteten Invarianzen beziehen sich auf eine beliebige reelle, symmetrische Matrix. Dabeihandeltessich um eineder beiden Koeffizientenmatrizen in der mathematischen Formulierung eines linearen Eigenwertproblems im Rahmen der Methode der Finiten Elemente (FEM). Die andere Koeffizientenmatrix ist die Steifigkeitsmatrix. Als pseudokinematisch werden die beiden zuvor angeführten mechanischen Größen deshalb bezeichnet, weil der zu ihrer Berechnung benötigte Parameter eine Pseudozeit darstellt, hinter der sich eine Bogenlänge verbirgt. Im Gegensatz zur großen erkenntnistheoretischen Bedeutung der vermuteten Invarianzen hält sich ihre praktische Bedeutung auf den ersten Blick eher in Grenzen. Das gilt auch für die Klasse der linearen Eigenwertprobleme, der das erwähnte Eigenwertproblem angehört. Als Hilfsmittel zur Umgehung numerischer Probleme in der Umgebung von Verzweigungs- und Durchschlagspunkten auf nichtlinearen Last-Verschiebungspfaden wurden diese Eigenwertprobleme im Laufe der Zeit von leistungsfähigeren Methoden verdrängt. Vor kurzem hat jedoch der Antragsteller gezeigt, dass ein bestimmter mathematischer Ausdruck, der nur diese beiden pseudokinematischen Größen enthält, gleich der auf die Verzerrungsenergie bezogenen Differenz von Verzerrungs- und Membranenergie ist. Dieses gleichermaßen theoretisch bemerkenswerte und praktisch bedeutsame Ergebnis wurde durch Lösung des sogenannten konsistent linearisierten Eigenwertproblems erhalten. Seine beiden Koeffizientenmatrizen sind die Tangentensteifigkeitsmatrix und ihre Ableitung nach einem dimensionslosen Lastparameter. Letztere könnte die Verifizierung der Invarianz der beiden eingangs erwähnten pseudokinematischen Größen vorausgesetzt durch eine mit erheblich geringerem Aufwand ermittelbare Matrix im Idealfall durch die Einheitsmatrix ersetzt werden. Für die Berechnung des angeführten prozentuellen Energieanteils mittels der erwähnten mathematischen Formel wäre dann die bei Vorliegen inelastischer Deformationen möglicherweise nicht mehr gegebene Differenzierbarkeit der Tangentensteifigkeitsmatrix belanglos. Grundlagen des numerischen Beweises dieser Invarianz sind zwei spezielle, durch Lösung zweier verschiedener linearer Eigenwertprobleme mit Hilfe der FEMerhaltene N-dimensionale Eigenvektoren als Ausgangspunkte zur Ermittlung zweier Kurven auf der Einheitskugel, längs der sich jeweils ein fiktives Partikel ungleichförmig bewegt. Wenn der Beweis gelingt, werden themenspezifische Programmmodule entwickeltundanschließendin einFE Vielzweckprogrammsystem implementiert, um eine effizientereBerechnungdieses prozentuellen Energieanteils für eine breite Palette von Strukturen des Bauwesens und des Maschinenbaus mit oder ohne Stabilitätsgrenzen im elastischen bzw. elasto-plastischen Materialbereich durchführen zu können. Diesen Anteil möglichst klein zu halten, ist häufig ein bedeutendes Entwurfskriterium für solche Strukturen.

Das gegenständliche Forschungsprojekt ist durch eine rund ein Jahr nach seiner Inangriffnahme notwendig gewordene Änderung des ursprünglichen Forschungsziels gekennzeichnet. Neues Ziel wurde die Ermittlung mathematischer Beziehungen für Extremwerte der Steifigkeit proportional belasteter Strukturen. Da ausreichende Festigkeit und Steifigkeit Kernforderungen an Bauwerke sind, stellt das Fehlen solcher Bedingungen eine bedeutende Lücke in der Literatur auf dem Gebiet der Strukturmechanik dar. Ursache der Änderung des Forschungsziels waren unvorhersehbare Mängel des mathematischen Werkzeugs in Form des Konsistent Linearisierten Eigenwertproblems im Rahmen der Methode der Finite Elemente. Die besagte Änderung des Forschungsziels erwies sich im Nachhinein als wissenschaftlicher Glücksfall! Der Begriff Steifigkeit ist für Systeme mit nur einem Freiheitsgrad - etwa in Form einer auf Zug oder Druck beanspruchten Feder - wohldefiniert. Für Strukturen, deren mechanisches Verhalten sich aber nur mit vielen Freiheitsgraden beschreiben lässt, ist das jedoch nicht der Fall. Dessen ungeachtet wird von steifer oder weicher werdenden Strukturen bei proportionaler Belastungssteigerung gesprochen. Ein allfälliger Wechsel von einem in den anderen Zustand ist daher durch einen Extremwert der Steifigkeit gekennzeichnet. Er hat auf das mechanische Verhalten der betreffenden Struktur bei weiterer Belastungssteigerung großen Einfluss. Eher zufällig wurde ein sowohl mathematisch als auch mechanisch interessantes lineares Eigenwertproblem mit zwei reellen, symmetrischen, indefiniten Koeffizientenmatrizen entdeckt. Eine der beiden Matrizen bezieht sich auf die aktuelle Lastintensität. Die andere ergibt sich durch Spezialisierung der ersteren für den Beginn der Belastung der untersuchten Struktur. Als Untermatrizen enthalten die beiden Koeffizientenmatrizen die Tangentensteifigkeitsmatrix. Ursache der Indefinität der beiden Matrizen ist ein hybrides Finites Element in der Programmbibliothek eines kommerziellen Programmsystems. Es stellt eine Erweiterung eines Verschiebungselements dar. Ihr Beweggrund steht in keinerlei Zusammenhang mit dem gegenständlichen Forschungsvorhaben. Die Existenz zweier indefiniter Koeffizientenmatrizen in der mathematischen Formulierung eines linearen Eigenwertproblems ist eine notwendige Bedingung für komplexe Eigenwerte. Dazu aber, dass der ursprünglich reelle fundamentale Eigenwert in einem bestimmten Lastabschnitt tatsächlich zu einem von zwei konjugiert komplexen Eigenwerten mutiert, bedarf es einer mechanischen Ursache. Sie besteht in dem bei einer bestimmten Lastintensität auftretenden Minimum der Steifigkeit der betreffenden Struktur. Die dafür gefundene mathematische Bedingung ist die eines Wendepunkts des Realteils der komplexen fundamentalen Eigenwertfunktion. Im komplexen Abschnitt dieser Funktion manifestiert sich die Abkehr von der ursprünglichen Tendenz der Struktur in Richtung Stabilitätsgrenze. Das erklärt, warum die später gefundene mathematische Bedingung für ein Maximum der Steifigkeit einer proportional belasteten Struktur die eines Wendepunktes einer reellen - im Gegensatz zu einer komplexen - fundamentalen Eigenwertfunktion ist. In diesem Fall findet nämlich eine Trendumkehr des ursprünglichen Strukturverhaltens in umgekehrter Richtung statt, also zu einer Tendenz in Richtung Stabilitätsgrenze. Die entsprechende Beulbedingung ist durch eine Nullstelle der reellen fundamentalen Eigenwertfunktion gekennzeichnet. Bei den numerisch überprüften Bedingungen für Extremwerte der Steifigkeit proportional belasteter Strukturen handelt es sich um ein bedeutendes Novum in der Geschichte der Strukturmechanik.