Die Asymptotic von Solitonengleichungen in Übergangsregimen

Solitonengleichungen (also vollständig integrable, nichtlineare, partielle Differentialgleichungen) haben die wunderbare, verblüffende Eigenschaft, dass man mithilfe der Inversen Streutransformation die Lösung explizit aufschreiben kann im Gegensatz zu gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen, wo nur die einfachsten Gleichungen explizit lösbar sind und der grosse Rest mit numerischen Methoden behandelt werden muss. Man denke nur an Wasserwellen und die ursprüngliche Entdeckung von solitären Wellen oder Solitonen: 1834 beobachtete John Scott Russell die Bugwelle einer Barke die gerade gestoppt hatte. Die Welle breitete sich über eine Meile entlang des Kanals aus, ohne dabei ihre Form zu verändern oder ihre Geschwindigkeit zu verringern. Nichtlineare und dispersive Effekte hatten einander ausgeglichen und eine Welle erschaffen, die sich ohne Gestaltänderung ausbreitete. Dieses Phänomen konnte 1895 auch theoretisch durch die Korteweg-de Vries (KdV) Gleichung erklärt werden. Es dauerte allerdings bis 1967, als im Zuge des berühmten FPU Computerexperiments das Interesse an der KdV Gleichung wiedererwachte und Gardner, Greene, Kruskal und Miura mithilfe der inversen Streutheorie aus der Quantenmechanik eine mathematische Lösung für die KdV Gleichung fanden. Wenig später entwickelte Peter Lax einen einheitlichen Zugang, der die Erweiterung auf andere Solitonengleichungen ermöglichte. Seitdem hat dieses faszinierende Gebiet enormes Interesse hervorgerufen. Ziel des Projektes ist es, die Stabilität von gewissen Solitonengleichungen unter geringen Störungen ihrer Anfangsdaten zu untersuchen und das Langzeitverhalten der expliziten Lösung zu analysieren. Typisches Beispiel für eine diskrete Solitonengleichung ist die Todagleichung, die wir zuerst untersuchen werden. Nicht einmal im einfachsten Fall von stark abfallenden Anfangsbedingungen ist das asymptotische Verhalten der Lösung vollständig erklärt. Die Lösung zerfällt schlussendlich in mehrere Komponenten: eine Summe von Solitonen (verursacht durch die Eigenwerte des zugrundeliegenden Laxoperators), einen abklingenden dispersiven Anteil (verursacht durch das stetige Spektrum des Laxoperators), einen Painlevé Anteil und Lösungen in zwei unbekannten Übergangsregimen als Verbindung zwischen dispersivem und Painlevé Anteil. Unser Ziel ist eine rigorose mathematische Beschreibung der Lösungen in der Übergangsregion und der Collisionless shock Region. Weiters werden wir stufenförmige Anfangsdaten untersuchen, also Anfangsstörungen, die auf den beiden Seiten verschieden sind. Die Todagleichung dient uns als Modell, um Methoden und Ideen für alle Solitonengleichungen in einer Raumdimension zu entwickeln. Zum Beispiel ergibt sich die KdV Gleichung durch Skalierung aus der Todagleichung. Die Todagleichung selbst wird in so verschiedenen Gebieten wie der Modellierung von Langmuiroszillationen in der Plasmaphysik, der Untersuchung von leitenden Polymeren, für Soliton Communication Channels, et cetera verwendet und wir rechnen mit Auswirkungen unserer Resultate in diesen Gebieten.

In diesem Projekt untersuchten wir das Langzeitverhalten von Lösungen von Solitonengleichungen. Wir interessierten uns für die Stabilität solcher Gleichungen bei kleinen Störungen der Anfangsdaten. Die von uns untersuchten Modelle sind die Todagleichung (das prototypische Beispiel einer zeitkontinuierlichen Solitonengleichung im diskreten Raum) und die berühmte Korteweg-de Vries-Gleichung, die Flachwasserwellen modelliert. Wir haben die Gleichungen schockartigen Anfangsbedingungen unterworfen und untersucht, was mit der Lösung für große Zeiten geschieht. Das Faszinierende an Solitongleichungen ist, dass man die Lösung mit Hilfe der inversen Streutransformation explizit aufschreiben kann. Durch die Anwendung der nichtlinearen steepest descent Methode, die wir erweitert und für unsere Fragestellung modifiziert haben, konnten wir die explizite Lösung des Toda Schock-Problems für große Zeiten analysieren und eine vollständige Beschreibung geben. Am interessantesten ist es, wenn die Raumvariable n und die Zeitvariable t beide gegen unendlich gehen, das Verhältnis n / t aber nahe einer Konstanten liegt. Wir hatten bereits im Projekt FWF V120 gezeigt, dass es fünf Hauptregionen in der (n, t)-Halbebene gibt, in denen die Lösung des Toda Schock-Problems ein jeweils essentiell unterschiedliches Verhalten hat: die linken und rechten Soliton-Regionen, in denen die Lösung asymptotisch nahe der konstanten linken oder rechten Hintergrundlösung und einer Reihe von Solitonen ist (Solitonen sind pulsartigen Wellen, die sich zeitlich ausbreiten, ohne ihre Größe und Form zu verändern); die linken und rechten Modulations-Regionen, in denen die Lösung asymptotisch nahe an einer modulierten einphasigen quasi-periodischen Toda-Lösung liegt; und die elliptische Region oder mittlere Region, in der die Lösung asymptotisch nahe einer quasi-periodischen Toda-Lösung ist. In diesem Projekt haben wir die asymptotische Entwicklung rigoros bewiesen und die Fehlerterme berechnet, d. h. die "Nähe" der Lösung zu der asymptotischen Entwicklung. Wir haben allgemeinere Anfangsdaten in Schock-Position zugelassen und den Einfluss von Eigenwerten in der mittleren Region und von Resonanzen auf die Lösung untersucht und beschrieben. Für das Korteweg-de Vries Schock-Problem teilt sich die Lösung für große Zeiten in einen abklingenden dispersiven Teil, eine dispersive Schockwelle und eine Reihe von Solitonen auf. Die Hauptregionen und die entsprechenden Asymptoten sind wohlbekannt, aber die Regionen überschneiden sich nicht. Es ist eine schwierige Aufgabe, den Gültigkeitsbereich dieser Formeln so zu erweitern, dass es zu einer Überschneidung kommt. Wir haben die Riemann-Hilbert-Analyse in der Soliton-Region verfeinert, um sowohl den Gültigkeitsbereich zu vergrößern als auch die Anforderungen an den Abfall und die Glattheit der Anfangsdaten abzuschwächen. Für mögliche Anwendungen ist am interessantesten, dass wir die Soliton-Asymptote stufenförmiger Lösungen in einem größeren Bereich als bisher bekannt und für wesentlich größere Klassen von Anfangsdaten bewiesen haben.