Macdonald Polynome und zugehörige Strukturen in Geometrie

Dieses Projekt gehört zu einem spannenden und lebendigen Bereich der mathematischen Forschung an der Schnittstelle von Algebra, Geometrie und Kombinatorik. Betrachten wir aus kombinatorischer Sicht die ! klassischen Binomialkoeffizienten ( ) = . Diese erscheinen überall! Wir verwenden sie, um die Anzahl !(-)! der Möglichkeiten zu berechnen, k Elemente aus n auszuwählen. Ersetzen wir die Fakultät durch die q-Fakultät, [] = 1 (1 + ) (1 + + 2 ) (1 + +. . . + -1 ), kommen wir zur Definition von Quanten- oder einfach q-Binomialkoeffizienten. Sie sind keine Zahlen mehr, sondern Polynome in der Variablen q. Es ist überraschend, dass diese q-Binomiale sich manchmal sehr wie die klassischen verhalten. Tatsächlich erlauben viele Theorien der Algebra und Kombinatorik q-Analogien. Es wurde in den 90er Jahren entdeckt, dass es manchmal möglich und in der Tat eine gute Idee ist, zwei Parameter q,t einzuführen und q,t-Analogien zu bilden. Wir haben also ein Muster klassische Mathematik q-Mathematik q,t-Mathematik. Macdonald-Polynome dienen als Bausteine dieser neuen Theorie. Seit ihrer Entdeckung sind sie von einer Wolke von Vermutungen umgeben, die alle bezeugen, dass der Übergang von q zu q,t viel subtiler ist als der Übergang von der klassischen Mathematik zu q. In der letzten gemeinsamen Arbeit mit Erik Carlsson haben wir eine dieser Fragen gelöst, die Shuffle-Vermutung von Haglund, Haiman, Loehr, Remmel und Ulyanov. Es gibt keinen Grund, sich auf Algebra und Kombinatorik zu beschränken. Was wäre eine q,t-Geometrie? Einem Raum ordnen wir die Folge der Betti-Zahlen () zu, die grob gesagt die Anzahl der k- dimensionalen Löcher in zählen. Die klassische Invariante, die mit verbunden ist, ist die Euler- Charakteristik, die alternierende Summe von Betti-Zahlen (). Seine q-Version ist das Poincaré-Polynom, das Polynom mit Koeffizienten (). In diesem Projekt untersuchen wir verfeinerte Invarianten von Räumen, die q,t-Polynome produzieren und vergleichen sie mit den q,t-Polynomen, die in der Kombinatorik gefunden werden können. In einer anderen Richtung studieren wir q,t-Polynome, die mit Knoten verbunden sind: Nimm ein Stück Faden und wickle es auf natürliche Weise um den Torus (denke an einen Donut) und zähle, wie oft wir durch das Loch gehen und wie oft wir die volle Runde machen. Angenommen, die Zählungen sind am Ende m und n. Entferne nun den Torus. Der Faden wird einen Knoten bilden, der m,n-Torus-Knoten (, ) genannt wird. Wir berechnen auch bestimmte q,t-Invarianten für diese Knoten und erhalten wiederum dieselben q,t- Polynome wie zuvor. In diesem Projekt werden wir versuchen, die tiefen Gründe für das Auftreten von q,t- Polynomen in so unterschiedlichen mathematischen Szenarien zu verstehen.

Dieses Projekt gehört zu einem spannenden und lebendigen Bereich der mathematischen Forschung an der Schnittstelle von Algebra, Geometrie und Kombinatorik. Eine Motivation kommt von q,t-Analogien. Nehmen Sie zum Beispiel Binomialzahlen, die die Anzahl der Möglichkeiten zählen, k Elemente aus n auszuwählen. Es ist bekannt, dass die Binomialzahlen und viele andere Zahlen Verallgemeinerungen haben, die keine Zahlen mehr sind, sondern Funktionen einer Variablen "q". Vor nicht allzu langer Zeit wurde entdeckt, dass wir manchmal weiter gehen und Funktionen in zwei Variablen q,t haben können, die in q und t symmetrisch sind. Als Bausteine dieser neuen Theorie dienen Funktionen, die als "Macdonald-Polynome" bezeichnet werden. Seit ihrer Entdeckung sind sie von einer Wolke von Vermutungen umgeben, die alle bezeugen, dass der Übergang von "q" zu "q,t" viel subtiler ist als der Übergang von Zahlen zu "q". In einer kürzlichen gemeinsamen Arbeit mit Erik Carlsson haben wir eine dieser Fragen gelöst, die Shuffle-Vermutung. Aber sobald die Lösung veröffentlicht wurde, tauchte eine allgemeinere Vermutung auf. Eines der Ergebnisse des Projekts ist eine Lösung dieser allgemeineren Vermutung namens "Delta-Vermutung". Was es im Grunde besagt, ist, dass bestimmte Summen von q,t-Monomen, die kombinatorischen Objekten namens Dyck-Pfade entsprechen, mit einem bestimmten mysteriösen Operator-Delta in Beziehung gesetzt werden können, das auf Funktionen einwirkt, und die Art und Weise, wie es wirkt, wird in Begriffen von Macdonald-Polynomen beschrieben. Da Dyck-Wege mit den katalanischen Zahlen gezählt werden, haben wir gewissermaßen verallgemeinerte q,t-katalanische Zahlen konstruiert. Dies erklärt eine Verbindung zwischen Kombinatorik (Dyck-Pfade) und Algebra (Operatoren). Was ist mit Geometrie? Zum Beispiel sehen wir oft, dass einige geometrische Räume durch Zusammenfügen einfacherer Teile erhalten werden können. Dann erwarten wir, dass das Zählen dieser Teile einige interessante Zahlen ergibt, und vielleicht entsprechen sogar die Teile selbst interessanten kombinatorischen Objekten. Was wäre, wenn die Operatoren auch geometrisch erklärt werden könnten, etwa durch einige Transformationen des Raums? Das ist die Art von Fragen, die wir suchen. Ein weiteres Ergebnis des Projekts ist die Konstruktion eines Raums, dessen Grundelemente genau zu den bereits erwähnten Dyck-Wegen passen. Die Hauptvermutung, die all dies mit einigen anderen aus der Eichtheorie stammenden Räumen in Beziehung setzen würde, bleibt offen. In noch einer anderen Richtung untersuchen wir q,t-Polynome, die Knoten zugeordnet sind. Seit jeher wollten Mathematiker Knoten klassifizieren und konstruierten zu diesem Zweck ausgeklügelte Invarianten, Zahlen, die für identische Knoten gleich und für verschiedene Knoten unterschiedlich waren. Ein weiteres Ergebnis des Projekts ist eine "knotenartige" Interpretation der erwähnten Operatoren. Und so werden Dyck-Wege, Operatoren, Räume und Knoten alle Teil einer faszinierenden Geschichte, in der immer wieder neue Verbindungen entdeckt werden.