Pseudozufall und Kryptografie: Zahlentheoretische Methoden

Im letzten Jahrhundert haben zahlentheoretische Probleme zahlreiche Anwendungsgebiete gefunden wie z.B. Kryptographie, Kommunikationssysysteme und numerische Methoden. Dieses Projekt befasst sich mit zahlentheoretischen Problemen, die durch solche Anwendungen motiviert sind. Pseudozufallsfolgen, das sind Zahlenfolgen, die zwar mit einem deterministischen Algorithmus erzeugt werden aber dennoch `zufällig` wirken, haben viele Anwendungen wie z.B. in der Kryptographie, für drathlose Kommunikation oder für numerische Methoden. Abhängig von der speziellen Anwendun gibt es viele verschiedene Zugänge zu Pseudozufall. Das erste Ziel des Projektes ist die Untersuchung des Zusammenhanges zwischen diesen verschiedenen Zugängen, nämlich zwischen der NIST Testbatterie des National Institute of Standards and Technology (U.S.) und eher theoretischen Pseudozufallsmaßen (die sogenannte Wohlverteilung und das Korrelationsmaß). Außerdem sollen Pseudozufallseigenschaften von automatischen Folgen (das sind Folgen, die von einem endlichen Automaten erzeugt werden) analysiert werden. In der Zahlentheorie sind elliptische Kurven besonders wichtige Objekte. Sie wurden im Beweis des Fermatschen Satzes benutzt und haben auch Anwendungen in der Kryptographie und bei der Faktorisierung ganzer Zahlen. In diesem Projekt sollen Eigenschaften von Folgen studiert werden, die mit Hilfe von elliptischen Kurven erzeugt werden. Es ist wichtig dieses Gebiet aus der Sicht dynamischer Systeme zu betrachten, da Pseudozufallszahlen nicht die einzige Anwendung dieses Gebietes sind. Schließlich wollen wir während des Projektes hochgradig nichtlineare Boolesche Funktionen und Vektorfunktionen studieren. Diese spielen eine wichtige Rolle bei vielen Anwendungen wie Erzeugung von Pseudozufallsfolgen, Design von Blockchiffren, und Kodierungstheorie. Anstatt neue Funktionen mit den verlangten nichtlinearen Eigenschaften zu studieren, liegt der Schwerpunkt des Projektes auf ihren struktuellen Eigenschaften.

Im letzten Jahrhundert haben zahlentheoretische Probleme zahlreiche Anwendungsgebiete gefunden wie z.B. Kryptographie, Kommunikationssysysteme und numerische Methoden. Dieses Projekt befasste sich mit zahlentheoretischen Problemen, die durch solche Anwendungen motiviert sind. Pseudozufallsfolgen, das sind Zahlenfolgen, die zwar mit einem deterministischen Algorithmus erzeugt werden aber dennoch 'zufällig' wirken, haben viele Anwendungen wie z.B. in der Kryptographie, für drathlose Kommunikation oder für numerische Methoden. Abhängig von der speziellen Anwendung gibt es viele verschiedene Zugänge zu Pseudozufall. Das erste Ziel des Projektes war die Untersuchung von Zufälligkeitseigenschaften konkreter Folgen. Unter anderen studierten wir Eigenschaften von Folgen, die mit Hilfe von hyperelliptischen Kurven konstruiert wurden. In der Zahlentheorie sind hyperelliptische Kurven besonders wichtige Objekte. Sie wurden im Beweis des Fermatschen Satzes benutzt und haben auch Anwendungen in der Kryptographie und bei der Faktorisierung ganzer Zahlen. Wir zeigten, dass diese Folgen sehr gute Zufälligkeitseigenschaften besitzen. Eine natürliche Art, um zufällig aussehende Folgen zu erzeugen, ist es, von einem Startwert ausgehend bestimmte Iterationen von Transformationen darauf anzuwenden. Solche Folgen nennt man dynamische Systeme. Wir untersuchten die Struktur von dynamischen Systemen, die attraktive Kandidaten für Pseudozufallszahlen sind. Während des Projekts untersuchten wir auch digitale Eigenschaften bestimmter ganzer Zahlen. Zum Beispiel untersuchten wir die Verteilung der Ziffern von Mersenne-Zahlen. Wir zeigten, dass die Ziffern solcher Zahlen gleichverteilt sind. Schließlich wurden während des Projektes hochgradig nichtlineare Boolesche Funktionen und Vektorfunktionen studiert. Diese spielen eine wichtige Rolle bei vielen Anwendungen wie Erzeugung von Pseudozufallsfolgen, Design von Blockchiffren, und Kodierungstheorie. Anstatt neue Funktionen mit den verlangten nichtlinearen Eigenschaften zu studieren, wurde der Schwerpunkt des Projektes auf ihre struktuellen Eigenschaften gelegt.