Algorithmische Integrodifferentialalgebra

Integrale spielen in vielen Bereichen von Naturwissenschaft und Technik eine Rolle. Oft handelt es sich dabei um Parameterintegrale (d.h. die Funktion über die integriert wird hängt von Parametern ab), da durch Integrale beschriebene Größen oft von weiteren Parametern abhängen. Solche Integrale tauchen auch als Integraltransformationen und sogenannten Faltungen von Funktionen auf. Weiters sind viele spezielle Funktionen als bestimmte Integrale über parameterabhängige elementare Funktionen definiert. Je nach Fragestellung will man typischerweise das gegebene Integral explizit mittels bekannter Funktionen ausdrücken oder man möchte mehr Informationen über die Parameterabhängigkeit erhalten. Zu diesem Zweck gibt es Computeralgebraalgorithmen um solche Integrale explizit auszuwerten oder systematisch lineare Gleichungen zu finden, die von ihnen erfüllt werden. In der Integrodifferentialalgebra untersucht man die algebraischen Eigenschaften von Funktionen, ihren Ableitungen und Integralen. Im Projekt entwickeln und verbessern wir algebraische Methoden und Algorithmen für exakte Berechnungen mit Integralen. Diese Algorithmen implementieren wir in spezialisierter Software und wenden diese Computeralgebraverfahren in Berechnungen aus der theoretischen Physik an. Insbesondere arbeiten wir an den Integrationsalgorithmen um sie effizienter und leistungsfähiger zu machen. Darüber hinaus wenden wir solche Algorithmen an um viele spezialisierte Gleichungen zu finden, welche zur Auswertung von in Anwendungen auftretenden Parameterintegralen verwendet werden können. Der Schwerpunkt liegt dabei auf Integralen, welche mittels verschachtelter Integrale definierte Funktionen beinhalten, so wie sie zum Beispiel in der Quantenfeldtheorie auftreten. Um mit solchen mittels verschachtelter Integrale definierten Funktionen zu rechnen, studieren wir deren algebraische Struktur und entwickeln Algorithmen um eindeutige Darstellungen dieser Funktionen zu erhalten. Die Resultate des Projekts bedeuten nicht nur Fortschritt auf den Gebieten des Symbolischen Rechnens und der Integrodifferentialalgebra, sondern die Softwareimplementierung der entwickelten Algorithmen kommt einem breiten Kreis von Nutzern sowohl in der Grundlagenforschung als auch in Anwendungsfeldern zugute, wo exakte Berechnungen mit Integralen erforderlich sind. Insbesondere die spezialisierten Verfahren und Software, welche in Zusammenarbeit mit Experten der Quantenfeldtheorie entwickelt werden, dienen als Werkzeug um auf deren Gebiet Fortschritt in Richtung eines tieferen Verständnisses der Welt zu erleichtern.

Wie in der Projektbeschreibung erwähnt, spielen Integrale in vielen Bereichen von Naturwissenschaft und Technik eine Rolle, und oft hängen die Funktionen, über die integriert wird, von Parametern ab. Im Projekt entwickelten und verbesserten wir algebraische Methoden und Algorithmen für exakte Berechnungen mit Integralen und wandten solche Computeralgebraverfahren in Berechnungen aus der theoretischen Teilchenphysik an. Die wichtigsten erzielten Resultate sind wie folgt: Wir entwickelten eine verfeinerte Version der sogenannten Risch-Norman-Methode zur exakten Berechnung von Integralen. Diese Verfeinerung ermöglicht es Integrale algorithmisch zu berechnen, die mit üblichen Varianten des Risch-Norman-Algorithmus nicht berechnet werden konnten, und in bestimmten Fällen ermöglicht sie es sogar zu beweisen, dass keine Lösung einer bestimmten Form existiert. Die dafür entwickelten Ideen können auch auf das Lösen von linearen Differentialgleichungen angewandt werden. Wir erarbeiteten mehrere allgemeine Formeln, die auch dann noch gelten, wenn die beteiligten Funktionen nicht mehr ausreichend glatt sind, sondern Singularitäten und Unstetigkeiten haben können. Zum Beispiel entdeckten wir eine erweiterte Taylorformel mit zusätzlichen Termen, welche für ausreichend glatte Funktionen verschwinden. Auf solch allgemeinen Formeln fußend erarbeiteten wir Normalformen (d.h. eindeutige Darstellungen) von verschachtelten Integralen sowie ihre algebraischen Relationen, welche komplizierter sind als bei reguläreren Funktionen. Dies kann zur Vereinfachung von durch verschachtelte Integrale ausgedrückte Größen verwendet werden. In Zusammenarbeit mit Experten der Quantenfeldtheorie wandten wir Computeralgebraverfahren zum Rechnen mit verschachtelten Integralen an, um große Berechnungen erfolgreich durchzuführen, die in der theoretischen Teilchenphysik auftauchen und tausende Integrale beinhalten. Die so berechneten Resultate ermöglichen eine größere Präzision in der Analyse von Messungen bei Teilchenbeschleunigern, um die Masse bestimmter Quarks und Bosonen zu bestimmen. Für einen bestimmten Typ verschachtelter Integrale, der in diesem Kontext auftaucht, erstellten wir auch neue Transformationsformeln, die darauf ausgerichtet sind die Integrale in einfachere Form zu bringen, damit die numerische Auswertung der Resultate effizienter wird. Zusätzlich entwickelten wir - über die ursprünglichen Projektziele hinaus - auch algebraische Grundgerüste und Algorithmen zum computergestützten Beweisen und Entdecken von Gleichungen linearer Operatoren. Basierend auf den oben erwähnten allgemeinen Formeln, die Differentiation und Integration von Funktionen mit Singularitäten beinhalten, entwickelten wir ein auf Integrodifferentialoperatoren spezialisiertes Grundgerüst. Wir entwickelten ebenso ein allgemeineres Grundgerüst für Aussagen (bestimmter Form) über Gleichungen beliebiger linearer Operatoren und ein Verfahren das alle solchen Aussagen automatisiert beweisen kann.