Doppelt nichtlineare Evolutionsgleichungen

In diesem Projekt betrachten wir doppelt nicht-lineare Evolutionsgleichungen, die in gewissem Sinn eine Kombination der parabolischen p-Laplace Gleichung und der Porösen Medien Gleichung sind. Derartige partielle Differentialgleichungen besitzen ein sehr breites Spektrum von Anwendungen, z.B. in der Strömungsmechanik, der Bodenkunde und der Filtration. Trotz ihrer Wichtigkeit für Anwendungen und auch innerhalb der Mathematik, gibt es noch viele unverstandene Phänomene und offene Fragestellungen in diesem Gebiet. Unser mathematisches Verständnis dieser Gleichungen ist gerade erst am Anfang. Das Ziel dieses Projekts ist es neue Einsichten in die Existenz- und Regularitätstheorie doppelt nicht-linearer Evolutionsgleichungen zu gewinnen. Obwohl wir uns größtenteils mit theoretischen, analytischen Fragestellungen beschäftigen, sind diese von Anwendungen aus der Physik und den Ingenieurwissenschaften motiviert. Die Ergebnisse könnten auch Ausgangspunkt für die Entwicklung neuer numerischer Verfahren sein. Das Projekt besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil beschäftigt sich mit der Existenztheorie für doppelt nicht-lineare Evolutionsgleichungen. Diese beruht auf einer neuen Definition für Lösungen, den sogenannten Variationslösungen. Diese erlaubt mittels einer nicht-linearen Variante des impliziten Eulerverfahrens die Entwicklung einer Existenztheorie, die nur auf Methoden der Variationsrechnung beruht. Diese Methode ist sehr flexibel und soll in unterschiedlichen Situationen angewendet werden, z.B. auf Hindernisprobleme oder auf eine fast diffusion Variante der Minimalflächengleichung. Zudem werden wir Eindeutigkeit und Approximations- eigenschaften der Lösungen untersuchen. Die so erhaltenen Lösungen sind verallgemeinerte Lösungen in gewissen Sobolev Räumen. Im zweiten Teil des Projekts untersuchen wir daher ihre Regularitätseigenschaften wie Hölderstetigkeit oder die sogenannte höhere Integrierbarkeit. Darunter versteht man eine kleine Verbesserung der Integrabilität des Ortsgradienten der Lösung. Solche Eigenschaften sind nicht nur für sich genommen interessant. Sie sind wichtige Bestandteile im Beweis weiterführender Regularitätsresultate wie partielle Regularität oder Calderòn-Zygmund Abschätzungen.

In diesem Projekt betrachten wir doppelt nicht-lineare Evolutionsgleichungen, die in gewissem Sinn eine Kombination der parabolischen p-Laplace Gleichung und der Porösen Medien Gleichung sind. Derartige partielle Differentialgleichungen besitzen ein sehr breites Spektrum von Anwendungen, z.B. in der Strömungsmechanik, der Bodenkunde und der Filtration. Trotz ihrer Wichtigkeit für Anwendungen und auch innerhalb der Mathematik, gibt es noch viele unverstandene Phänomene und offene Fragestellungen in diesem Gebiet. Unser mathematisches Verständnis dieser Gleichungen ist gerade erst am Anfang. Wir konnten neue Einsichten in die Existenz- und Regularitätstheorie doppelt nicht-linearer Evolutionsgleichungen gewinnen. Obwohl wir uns größtenteils mit theoretischen, analytischen Fragestellungen beschäftigen, sind diese von Anwendungen aus der Physik und den Ingenieurwissenschaften motiviert. Die Ergebnisse könnten auch Ausgangspunkt für die Entwicklung neuer numerischer Verfahren sein. Das Projekt besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil beschäftigt sich mit der Existenz- und Eindeutigkeitstheorie für doppelt nicht-lineare Evolutionsgleichungen. Diese beruht auf einer neuen Definition für Lösungen, den sogenannten Variationslösungen. Sie erlaubt mittels einer nicht-linearen Variante des impliziten Eulerverfahrens die Entwicklung einer Existenztheorie, die nur auf Methoden der Variationsrechnung beruht. Diese Methode ist sehr flexibel und konnte in unterschiedlichen Situationen angewendet werden, wie z.B. auf Hindernisprobleme. Zudem wurde ein Vergleichsprinzip bewiesen, das neue Erkenntnisse zur Eindeutigkeit von Lösungen liefert. Die so erhaltenen Lösungen sind verallgemeinerte Lösungen in gewissen Sobolev Räumen. Im zweiten Teil des Projekts wurden Regularitätseigenschaften, wie Hölderstetigkeit der Lösung und des Ortsgradienten und die sogenannte höhere Integrierbarkeit bewiesen. Darunter versteht man eine kleine Verbesserung der Integrabilität des Ortsgradienten der Lösung. Solche Eigenschaften sind nicht nur für sich genommen interessant. Sie sind wichtige Bestandteile im Beweis weiterführender Regularitätsresultate wie partielle Regularität, oder Calderòn-Zygmund Abschätzungen.