Das Stochastische Keller Segel Modell

Tumorzellen produzieren bestimmte Signalsubstanzen, die wiederum andere Zellen anlocken, es kommt so zu Zellanhäufungen, was letztlich dazu führt dass Tumore wachsen. Dieses Phänomen wird als Chemotaxis bezeichnet, das mathematische System wird durch die Keller Segel Modell beschrieben. Auf molekularbiologischer Ebene ist klar, was zu dem Wachstum führe, allerdings gebe es bislang keine Informationen darüber, wie genau, das heißt in welcher Zeit und in welcher Richtung, sich Tumoren ausbreiten. In der Herleitung des Keller Segels Modell verwendet man das Gesetzt der großen Zahlen, und vernachlässigt so die zufälligen Bewegungen der einzelnen Zellen. Dadurch reduziert man zwar die Komplexität, es kann aber durch den Zufall zu Situationen kommen, die man durch die deterministische Gleichung nicht erfassen kann. Im Projekt werden diese zufälligen Bewegungen wieder mit in der Modellierung mit eingebaut. Das Ziel des Projektes ist einerseits den Effekt des zufälligen Rauschens auf die Gleichung zu erfassen, und, andererseits, numerische Methoden zur Modellierung zu erforschen.

Das Thema des Projektes war die mathematische Modellierung von Chemotaxis, die bei Schleimpilzzellen auftreten. Wenn Nahrung knapp ist, setzen die Schleimpilzzellen ein chemisches Signal in die Umgebung frei, das als Chemoattraktant bezeichnet wird. Dieses Signal zieht andere Zellen an, sodass sie sich in Richtung der Quelle des Chemoattraktanten bewegen, wo dessen Konzentration am höchsten ist. Je mehr Zellen den Chemoattraktanten wahrnehmen, desto mehr beginnen, sich in Richtung der Quelle zu bewegen, was zu einer Zellaggregation führt. Diese Aggregation verstärkt sich, wenn mehr Zellen eintreffen, da die Konzentration des Chemoattraktanten mit der Anzahl der anwesenden Zellen zunimmt. Dies schafft eine Rückkopplungsschleife, in der die Anwesenheit von mehr Zellen das Signal verstärkt und noch mehr Zellen zur Ansammlung ermutigt. Sobald die Zellen einen Peak oder Cluster gebildet haben, können externe Faktoren wie ein Windstoß diese Aggregation stören und die Zellen in verschiedene Bereiche zerstreuen. In diesem Fall repräsentiert der Wind Umwelteinflüsse, die das Verhalten der Schleimpilze nach der Aggregation beeinflussen. Der in Schleimpilzen beobachtete Prozess-bei dem Zellen Signale freisetzen, aggregieren und auf Umweltveränderungen reagieren-ist ein Prototyp für viele ähnliche Phänomene in anderen biologischen Systemen. Dazu gehören Tumorzellen während der Metastasierung und Immunzellen während der Entzündung oder Immunantwort, bei denen Zellen ebenfalls ihre Bewegung in Reaktion auf chemische Signale koordinieren. In diesem Projekt haben wir die Chemotaxis modelliert und Variationen des Prozesses unter Zufallseinflüssen untersucht. Wir haben sein Langzeitverhalten analysiert und Methoden zur numerischen Approximation entwickelt.