Martingalungleichungen für Splinefolgen

Ein Martingal ist eine Folge von Werten (w(n)) sodass, falls wir die ersten k Werte w(1),...w(k) kennen, die Erwartung des (k+1)ten Wertes genau der kte Wert w(k) ist. Ein Beispiel eines Martingals ist etwa die Folge der Gewinne w(k) zur Zeit k in einem fairen Spiel. Martingale sind besonders wichtig in der Wahrscheinlichkeitstheorie, sie finden aber auch in anderen Gebieten der Mathematik und der Physik Anwendungen (zB ist die Brownsche Bewegung ein Martingal). Über Martingale gibt es viele starke und nützliche Aussagen von denen wiederum viele davon in Form einer Ungleichung geschrieben werden können. Diese Resultate nutzen die spezielle Gestalt von Martingalen sehr stark aus. Wir betrachten nun Folgen von Splinefunktionen (p(n)). Splinefunktionen sind per Definition stückweise Polynomfunktionen (also stückweise Summen von konstanten Vielfachen der Funktionen 1,x,x^2,x^3 und so weiter) die zusätzlich gewisse Glattheitseigenschaften an den Bruchstellen besitzen. Für solche Folgen (p(n)) können wir analog zu Martingalen ein Fairness-Konzept einführen. Splines sind wichtige Objekte der Approximationstheorie. Die Gründe dafür sind ihre Glattheitseigenschaften an den Bruchstellen und die Einfachheit von Polynomfunktionen. In den letzten Jahren stellte sich heraus, dass viele Martingalungleichungen auf faire Splinefolgen übertragen werden können und dass viele dieser Resultate unabhängig von der konkreten Wahl der Bruchstellen gelten. In den meisten Fällen ist es sogar so, dass die Martingalresultate wörtlich genauso gelten, wenn wir nur Martingale durch faire Splinefolgen ersetzen. Diese enge Beziehung zwischen Martingalen und Splines kristallisierte sich erst in den letzten 5 Jahren durch Resultate heraus, die teilweise vom Autor bewiesen wurden. Das Ziel dieses Projekts ist die systematische Überführung von zusätzlichen Martingalresultaten auf Splines durch Ausnutzung und Erweiterung von existierenden Methoden um die starke Beziehung zwischen Martingalen und Splines noch weiter zu intensivieren.

Das Konzept eines fairen Spieles in der Wahrscheinlichkeitstheorie hat weitreichende Anwendungen z.B. in der Statistik, Physik und Chemie. Solche fairen Spiele werden mathematisch modelliert mit dem Begriff "Martingal" bezeichnet. Dieses mathematisch reichhaltige Konzept dient in diesem Projekt als Vorlage für allgemeine qualitative und quantitative Resultate über Splines. Dabei sind Splines stückweise Polynomfunktionen die gewisse Glattheitseigenschaften besitzen, und sie stellen ein wichtiges Instrument der Approximationstheorie dar. Die Ergebnisse dieses Projekts bilden die theoretische Basis für die schnelle Konvergenz von adaptiven Spline-Algorithmen und haben unter anderem Anwendungen bei der numerischen Lösung von gewissen physikalischen Problemen und der Computergrafik.