Dynamische Aspekte von Chemischen Reaktionsnetzwerken

Das Projekt Dynamische Aspekte von Chemischen Reaktionsnetzwerken beschäftigt sich mit qualitativen Eigenschaften von Differentialgleichungen, die auf dem Massenwirkungsgesetz beruhen und somit weit verbreitete Modelle in der Biochemie, Zellbiologie und Populationsdynamik umfassen. Es handelt sich um eine große Klasse von polynomialen dynamischen Systemen, die sowohl vom theoretischen Standpunkt als auch von den Anwendungen her überaus wichtig sind. Das Hauptziel des Projekts sind neue Erkenntnisse über das Langzeitverhalten solcher Systeme. Wir untersuchen die Stabilitätseigenschaften von Gleichgewichten und periodischen Lösungen, aber auch das Überleben aller Species. Eine wichtige Frage ist, inwieweit das qualitative Verhalten von den Modellparametern abhängt. Da deren numerische Werte in der Praxis nicht genau bestimmt werden können, sind Resultate besonders wertvoll, wenn sie robust gegenüber Störungen der Parameterwerte sind oder von deren genauen Werten überhaupt nicht abhängen. Wenn etwa alle beteiligten Reaktionen reversibel sind, dann besitzt das Massenwirkungssystem ein positives Gleichgewicht, für jede Wahl der Ratenkonstanten der einzelnen Reaktionen. Wir wollen analoge Bedingungen finden, die ein bestimmtes dynamisches Verhalten auf solch robuste Weise implizieren. Das Gebiet der Chemischen Reaktionsnetzwerke ist interdisziplinär, nicht nur innerhalb der Naturwissenschaften, sondern auch innerhalb der Mathematik: Da die relevanten Objekte sowohl von diskreter und kontinuierlicher Natur sind, spielen bei der mathematischen Untersuchung Graphentheorie, lineare und nichtlineare Algebra und Analysis zusammen. Es gibt zwei wesentliche Aspekte von Massenwirkungssystemen: den algebraischen und den dynamischen. Bisher wurde dem algebraischen Aspekt - der Struktur der Menge der Gleichgewichte - viel mehr Aufmerksamkeit geschenkt. Unser Projekt widmet sich - darauf aufbauend - hauptsächlich dem dynamischen Aspekt.

In diesem Projekt untersuchten wir die qualitativen Eigenschaften von Massenwirkungsdifferentialgleichungen, den wahrscheinlich häufigsten mathematischen Modellen in der Biochemie, Zellbiologie, Epidemiologie und Populationsdynamik. Sie stellen eine große Klasse polynomialer dynamischer Systeme dar, die sowohl theoretisch als auch in den Anwendungen sehr wichtig sind. Wir haben einen Beitrag zum Verständnis des Langzeitverhaltens dieser Systeme geleistet, wobei wir uns besonders auf Oszillationen konzentriert haben. Mit bekannten Methoden aus der Theorie der Differentialgleichungen untersuchten wir Bifurkationen von Gleichgewichten und konnten so das Auftreten von nichttrivialen Verhaltensweisen bereits in kleinen Netzwerken (mit nur wenigen chemischen Spezies, wenigen Reaktionen und geringer Molekularität) zeigen. Wir haben systematisch untersucht, welche kleinen bimolekularen Reaktionsnetzwerke mit Massenwirkungskinetik eine Andronov-Hopf-Bifurkation haben können. Mit Hilfe von Computeralgebra analysierten wir alle 14670 bimolekularen Netzwerke mit drei Spezies und vier Reaktionen und fanden heraus, dass 138 von ihnen eine Andronov-Hopf-Bifurkation und damit periodische Lösungen zulassen. Eine weitere Analyse ergab, dass 47 Netzwerke sogar Bistabilität zulassen (d. h. die Koexistenz eines stabilen Gleichgewichts und einer stabilen periodischen Lösung), ein Phänomen, das in der Natur allgegenwärtig ist. Unsere Arbeit "The smallest bimolecular mass action networks admitting Andronov-Hopf bifurcation" wurde in die "IOP Publishing's celebratory collection of open-access articles published in 2023 by researchers in Austria" aufgenommen, wo die vorgestellten Arbeiten aufgrund ihres großen Impakts seit der Veröffentlichung ausgewählt wurden. In einer anderen Arbeit haben wir alle bimolekularen Netzwerke mit zwei Spezies und vier Reaktionen klassifiziert, die mehrere Gleichgewichte zulassen, wobei in allen Fällen die beiden Gleichgewichte über eine Sattel-Knoten-Verzweigung entstehen. Unter der Einschränkung auf trimolekulare Produktkomplexe identifizierten wir 33 Netzwerke, die nicht nur Sattel-Knoten- und Andronov-Hopf-, sondern sogar Bogdanov-Takens-Bifurkationen zulassen. Das Vorhandensein einer solchen Bifurkation der Kodimension zwei in einem System impliziert die Existenz einer homoklinen Lösung. Die direkte Analyse größerer Systeme kann kompliziert sein. In den letzten 10 Jahren hat daher das Interesse am Auffinden von spezifischen "Motiven" in größeren Netzwerken zugenommen. Wir führten eine neue Netzwerkerweiterung ein ("Hinzufügen einer abhängigen Spezies") und zeigten, dass diese Operation die Fähigkeit des Netzwerks zu gewissen robusten Verhaltensweisen, etwa Multistationarität und Oszillationen, bewahrt. In Folgearbeiten haben wir bewiesen, dass bei sechs Netzwerkoperationen, von denen bekannt ist, dass sie die Kapazität für robuste Verhaltensweisen bewahren, sogar Bifurkationen vom kleinen Netzwerk in das größere gehievt werden. Diese Entdeckung hat das Potenzial, unsere Fähigkeit zur Analyse von großen, bisher intraktablen, Netzwerken erheblich zu verbessern.