Resonanzen und Kopplung von Wellen in Rotationsströmungen

Die resonante Wechselwirkung zwischen zwei oder mehreren Wasser-Wellen, die sich zu einer neuen Welle verbinden, ist für die Wellenentwicklung von größter Bedeutung. Tatsächlich tritt ein signifikanter Energietransfer während der Entfaltung der Wechselwirkung auf. Ein weiteres Merkmal vieler Wasserflüsse ist die Entstehung interner Wellen aufgrund der Dichteschichtung der im tropischen Teil des Ozeans sehr ausgeprägt ist. Oft entsteht ein Kopplungseffekt zwischen Oberflächen- und Innenwellen, der manchmal versteckte Innenwellen mit großer Amplitude auslöst. Diese können sogar das Manövrieren von Schiffe gefährden. Unter Berücksichtigung der bisherigen Aspekte lenken wir das vorgeschlagene Projekt auf eine interdisziplinäre, eingehende Untersuchung der Resonanzen und der Kopplung zwischen der Oberflächen- und Innenwellen. Wir werden auch die Eigenschaften der Strömung darunter wie Druck, Geschwindigkeitsfeld und die Wechselwirkungen der Oberflächen- und Innenwellen mit den darunter liegenden Ströme in Rotationsströmungen untersuchen. Frühere Studien über die Kopplung zwischen Oberflächen- und Innenwellen blieben auf das irrotationelle Szenario beschränkt und konnten daher die vertikale Struktur, die für Strömungen in Ozeanen und Meeren spezifisch ist, nicht erfassen. Darüber hinaus haben sie auch die Auswirkungen der Erdrotation nicht angesprochen. Unser vorgeschlagenes Projekt zielt darauf ab, diese Lücken durch Anwendung einer Mischung von Werkzeugen aus Differentialgleichungen, Variationsrechnung, Strömungsmechanik zu schliessen. Eine erfolgreiche Behandlung der zuvor erwähnten Meeresströmungen wird ermöglicht durch eine präzise Formulierung des Wasserwellenproblems, die seine strukturellen Eigenschaften hervorhebt. Diese ist die Hamiltonsche-Formulierung die das Wasserwellenproblem mittels Wellenvariablen umformulieren kann. Der Erwerb einer Hamiltonschen-Formulierung, die die genannten Durchflußmerkmale umfasst, wird einer der wichtigsten Beiträge des Projekts sein. Dadurch werden die Entwicklung strukturerhaltender Näherungen der nichtlinearen Gleichungen sowie die Herleitung von Modellgleichungen ermöglichen, die für eine eingehende Untersuchung geeignet sind. Während die vorgeschlagene Forschung herausfordernde Aspekte der mathematischen Analyse und der Strömungsmechanik behandeln muss, sind ihre Implikationen breiter und haben potenzielle Relevanz für das Gebiet der Meerestechnik. In der Tat, ist die genaue Vorhersage von internen- und Oberflächenwellen mit großer Amplitude ein zwingendes Erfordernis für routinemäßige Navigationsaktivitäten. Die Umsetzung des Projekts erfordert einen interdisziplinären Ansatz, der eine entschlossene Mischung neuartiger analytischer Ergebnisse sein soll, die sich an numerischen Ergebnissen und experimentellen Daten orientiert.

Das allgemeine Ziel des Projekts bestand darin, Oberflächen- und interne Wellen und ihre mögliche Kopplung in Wasserflüssen zu untersuchen, die tiefenabhängige Strömungen, (diskontinuierliche) Dichte und Coriolis-Effekte aufweisen, die auf die Erdrotation zurückzuführen sind. Um die vorherigen Aspekte zu veranschaulichen, möchten wir die ausgeprägte Dichteschichtung im äquatorialen Pazifik innerhalb eines Bandes von 150 km auf beiden Seiten des Äquators erwähnen, wo Änderungen in Temperatur und Salzgehalt zu Dichteschwankungen führen, die eine vertikale Schichtung der Strömung ergeben. Das Markenzeichen der vertikalen Schichtung ist das Vorhandensein einer Grenzfläche, die Thermokline oder Pycnocline genannt wird. Darüber hinaus erzeugen die Corioliskräfte zusammen mit den Westwinden ein zugrunde liegendes Strömungsfeld, das eine Strömungsumkehr zeigt. Um das zuvor formulierte Ziel zu erreichen, verwendeten wir einen mathematischen Ansatz, der aus einer eingehenden Analyse eines Systems nichtlinearer partieller Differentialgleichungen bestand, die durch das Geschwindigkeitsfeld und den Druck (der die Impulserhaltung darstellt) erfüllt werden, und einer Gleichung, die die Massenerhaltung angibt und einiger nichtlinearer Randbedingungen, die die Undurchlässigkeit der Oberflächenwelle, der Grenzfläche (die die Rolle einer inneren Welle spielt) und des Bodens der Flüssigkeit angeben. Die spezifischeren Aufgaben betrafen die Entwicklung strukturerhaltender Näherungen an die vollständig nichtlinearen Gleichungen und die Ableitung von Modellgleichungen (zugänglich) für eine eingehende Untersuchung, die numerische Simulationen der abgeleiteten Modellgleichungen umfasste. Um die Schwierigkeiten des erwähnten nichtlinearen Systems zu mildern, haben wir auf äquivalente Neuformulierungen der maßgeblichen Gleichungen zurückgegriffen. Diese Neuformulierungen können die nichtlinearen Gleichungen nur in Bezug auf die Wellenvariablen schreiben: die freie Oberfläche und die interne Welle. Wir konnten in der Langwellennäherung eine KdV-Gleichung mit variablen Koeffizienten ableiten. Darüber hinaus lag der Schwerpunkt auf der Ableitung expliziter/exakter Lösungen für diskontinuierlich geschichtete geophysikalische Wasserflüsse, die eine azimutale Ausbreitungsrichtung aufweisen. Ein wichtiges Merkmal dieser Lösungen besteht darin, dass sie in sphärischen Koordinaten dargestellt werden: Das heißt, es wurden keine Näherungen zur Vereinfachung der Geometrie der Erde vorgenommen. Ein weiterer wichtiger Aspekt im Zusammenhang mit den abgeleiteten exakten Lösungen bestand darin, auch qualitative/quantitative Ergebnisse über das Verhalten der Druckfunktion in Bezug auf die freie Oberfläche und die Grenzfläche der berücksichtigten zweischichtigen Fluiddomänen zu erzielen. Aufgrund der genannten Merkmale eignet sich diese Analyse zur Darstellung der groben Dynamik des äquatorialen Unterstroms (EUC) und des antarktischen Zirkumpolarstroms (ACC), dem längsten und stärksten Strom der Welt. Im Sinne exakter Lösungen haben wir auch eine Familie radialer expliziter Lösungen in Eulerschen Koordinaten für ein Fluidgebiet mit freier Oberfläche und endlicher Tiefe sowie vertikaler Struktur abgeleitet. Ein wichtiger Aspekt ist, dass wir uns auch mit dem Einfluss konstanter Wirbelkraft auf die Dimensionsreduktion in zeitabhängigen dreidimensionalen geschichteten Wasserströmen endlicher Tiefe mit einer freien Oberfläche und einer Grenzfläche (die zwei Schichten konstanter und unterschiedlicher Dichte trennt) befasst haben.