Risiko Modellierung: Analysis, Simulation und Optimierung

Im Rahmen dieses Projekts sollen unterschiedliche Aspekte von Risikomodellen behandelt werden. Diese Modelle dienen dazu, den Verlauf des Vermögens bzw. der Reserve eines ökonomischen Akteurs in einem nicht deterministischen Umfeld zu beschreiben. Darauf aufbauend werden Risikokennzahlen bestimmt. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts wurde erstmals so ein Risikomodell entworfen. Es beschreibt mit einem einfachen stochastischen Prozess die Entwicklung von Einnahmen und Ausgaben eines Versicherungsportfolios. Natürlich basiert so ein einfaches Modell auf starken Annahmen, welche unter realistischen Szenarien kaum zu begründen sind. Nun sollen in einem ersten Schritt allgemein formulierte Modellerweiterungen erarbeitet und untersucht werden. Zum Beispiel soll ein allgemeines Modell in der Lage sein, unterschiedliche ökonomische Umfelder zu berücksichtigen, Verbindungen zum Finanzmarkt zu erlauben, den Verlauf mehrerer Portfolios gleichzeitig zu beschreiben, aber auch Risikoteilung mittels Rückversicherung zu bedenken. Die Klasse der sogenannten stückweise-deterministischen Markovprozesse erfüllt viele dieser Anforderungen und ist deshalb im Fokus dieses Projekts. Darüber hinaus können auch Kontrollmöglichkeiten, um Eingriffe in den Vermögensverlauf zu ermöglichen, gut in diese Prozesse integriert werden. Um Risikomaße oder Stabilitätskriterien für diese allgemeinen Modelle analysieren und berechnen zu können, sollen neue Methoden und Techniken entwickelt werden. Mit Hilfe dieser Methoden können dann in weiterer Folge auch stochastische Optimierungsprobleme, z.B. die Minimierung eines Risikomaßes, gelöst werden. Da die gewählte Klasse von stochastischen Prozessen sehr flexibel ist, kann sie auch zur Modellierung von physikalischen und biologischen Vorgängen eingesetzt werden. Deshalb sind die Ergebnisses dieses Projekts auch für viele andere Teilgebiete der angewandten Wahrscheinlichkeitstheorie von Interesse. Ein zweiter Teil des Projekts wird sich mit statistischen Aspekten dieser Modelle befassen. Hier geht es darum, die Bestandteile eines Prozesses anhand vorhandener Datenpunkte zu schätzen. Nach der Entwicklung von geeigneten Methoden stellt sich danach die Frage, wie sich Schätzfehler auf zu berechnende Risikomaße übertragen. So soll dann die Robustheit von Risikomodellen bezüglich Parameterunsicherheit quantifiziert werden.

In Rahmen dieses Projekts wurde eine allgemeine Klasse von Risikomodellen erarbeitet und mathematisch analysiert. Diese stochastischen Modelle finden primär in der Versicherungs- und Finanzwirtschaft ihre Anwendung, und dienen dazu langfristige Effekte von eingangenen Risiken zu verstehen und damit einhergehend deren Auswirkungen zu kontrollieren. Darüberhinaus sind aber auch Fragestellungen aus der Warteschlangentheorie oder Operations Research verwandt. Die ersten erzielten Resultate beziehen sich auf das exakte Wachstumsverhalten von sogenannten Ruinwahrscheinlichkeiten in Modellen basierend auf stochastischen Intensitäten - die Wahrscheinlichkeit, dass vorhandene Mittel nicht ausreichen eingegange Zahlungsverpflichtungen zu erfüllen. Diese Klasse von Intensitäten erlaubt es auch zeitliche Häufungen von Ereignissen zu beschreiben, dies ist vor allem für die Modellierung von Naturkatastrophen und Cybersicherheitsereignissen sehr wichtig. Unsere Ergebnisse lassen sich nun nutzen, um Risikomaße zu bestimmen und zu analysieren in welchen Situation eine außergewöhnliche Häufung von Ereignissen oder einzelne jedoch katastrophale Ereignisse - im Sinne von Schadensereignissen - von besonderer Gefahr sind. Dies führt zu einem zweiten Forschungsinhalt im Rahmen dieses Projekts, nämlich der Kontrolle von zuvor erarbeiteten Risikomodellen. Hier konnte unter anderem eine Frage, wie zwei in Konkurrenz stehende Versicherungsunternehmen mittels geschickter Kontrolle der Risiken agieren um im Wettbewerb bestehen zu können, beantwortet werden. Eine eher individuelle Sichtweise wurde in einem weiteren Optimierungsproblem analysiert. Ein mit einem Einkommen ausgestattes Individuum ist gewissen Rsiken ausgesetzt und hat Zugang zu einem Versicherungsvertrag welcher potentiell Schäden gegen die Zahlung von Prämien übernimmt. Die Frage ist nun, wie soll der Vertrag in Anspruch genommen werden um das verfügbare Vermögen zu maximieren, im Wissen, dass jede Risikoteilung die Prämien über einen gewissen Zeitraum erhöht. Ergänzt wurde die mathematische Analyse der zuvor genannten Modelle und abgeleiteten stochastischen Optimierungsprobleme durch den Entwurf von ergänzenden numerischen Verfahren um theoretische Ergebnisse anhand von exemplarischen Konstellationen illustrieren zu können. Diese unterschiedlichen Resultate zeigen sehr schön, dass die vorgestellten Modelle ausgezeichnet verwendet werden können, um unterschiedliche Problemstellungen aus verschiedenen Perpspektiven zu behandeln.