Ultraholomorphe und ultradifferenzierbare Extensionsprobleme

Dieses Projekt behandelt Fragen und Probleme betreffend die Injektivität und Surjektivität der (asymptotischen) Borelabbildung definiert auf sogenannten Klassen von ultradifferenzierbaren und ultraholomorphen Funktionen. Räume von ultradifferenzierbaren Funktionen sind Teilklassen der Menge aller unendlich oft diffe- renzierbaren Funktionen. Die Ableitungen der Funktionen in solchen Klassen besitzen ein spezielles Größenwachstum welches klassischerweise mittels Gewichtsfolgen oder Gewichtsfunktionen gemes- sen wird. Diese Gewichte erfüllen einige standardmäßigen Wachstums- und Regularitätseigenschaf- ten. Ultraholomorphe Funktionenklassen, welche in der Literatur mehrheitlich über Gewichtsfolgen definiert werden, sind die komplex differenzierbaren Pendants der zuvor genannten Räume. Im Rahmen dieses Projekts betrachten wir Klassen vom Roumieu- und vom Beurling-Typ definiert über Gewichtsfolgen, Gewichtsfunktionen und über allgemeine Gewichtsmatrizen. Die Verwendung von Gewichtsmatrizen erlaubt es, beide klassischen Definitionen in einer vereinheitlichten Theorie zu betrachten aber zusätzlich auch neue Klassen. Darüber hinaus erhält man automatisch Resultate in der Situation von zwei verschiedenen Gewichtsfolgen (kontrollierter Verlust von Regularität) und man kann die üblichen Voraussetzungen an die Gewichtsfolgen abschwächen. Wenn die Borelabbildung nicht surjektiv ist, ist es das Ziel, einige Informationen über das Bild dieser Abbildung zu erhalten oder sogar eine volle Charakterisierung. Im ultradifferenzierbaren Fall, für die allgemeinere Whitney Jet Abbildung, und für Beurling-Typ Klas- sen definiert über Gewichtsfunktionen und Gewichtsmatrizen, studieren wir das Problem, wenn die Borelabbildung nicht surjektiv aber ein kontrollierter Verlust von Regularität möglich ist. Wir werden auch das analoge Verhalten der ultraholomorphen Klassen im Vergleich zu den ultradif- ferenzierbaren Räumen untersuchen und weiters wollen wir Anwendungen für ultraholomorphe Klassen definiert über Gewichtsfunktionen und Gewichtsmatrizen finden. Das wird die Unabhängig- keit und Wichtigkeit dieser neuen Klassen betonen. Der Projektleiter Gerhard Schindl wird mit einem Postdoc an der Universität Wien zusammenarbei- ten und weiters mit seinen Kollaborationspartnern Javier Sanz Gil von der Universidad de Valladolid, Céline Esser von der Université de Liège und Armin Rainer von der Universität Wien.

Im Rahmen dieses Forschungsprojekts sind Klassen von ultraholomorphen und ultradifferenzierbaren Funktionen und deren definierende Gewichte studiert worden. Diese Gewichte kontrollieren das Größenwachstum der Funktionen und all ihrer komplexen bzw. reellen Ableitungen und technische Regularitätseigenschaften der Gewichte werden benötigt. Klassischerweise werden zwei, im Allgemeinen nicht vergleichbare, Methoden verwendet: Gewichtsfolgen oder Gewichtsfunktionen. Ein verallgemeinerter Zugang, die Verwendung von Gewichtsmatrizen, ist vom Projektleiter im Rahmen seiner Dissertation eingeführt worden. Ein Schwerpunkt ist die Untersuchung der Größe des Bildes der Borel-Abbildung gewesen, welche auf diesen Klassen natürlicherweise definiert ist. Es konnte eine genaue Charakterisierung des kontrollierten Verlusts an Regularität in Termen der definierenden Gewichtsmatrizen gezeigt werden. Während dieser Forschungsarbeiten ist eine bekannte Bedingung wiederentdeckt worden. Diese hat sich als optimal erwiesen, um neue ultraholomorphe Ausdehnungsresultate unter sehr allgemeinen Bedingungen an die Gewichtsfolge zu beweisen. Weiters ist mit der Untersuchung von wichtigen Stabilitätseigenschaften von ultraholomorphen Klassen, wie zum Beispiel Abgeschlossenheit unter Komposition von Funktionen, begonnen worden. Ein anderer Schwerpunkt ist das Studium von Wachstumseigenschaften von Gewichten und das Herstellen von Verbindungen zu anderen gewichteten Räumen in der Funktionalanalysis gewesen. Ziel ist, bekannte Informationen auf andere Strukturen zu übertragen. Es sind Orlicz-Klassen und gewichtete Räume ganzer Funktionen betrachtet worden. Weiters sind ultradifferenzierbare Klassen studiert worden welche über nicht-standardmäßige (kleine) Gewichtsfolgen definiert sind. Schließlich sind intrinsische Eigenschaften von Klassen ultradifferenzierbarer Funktionen analysiert worden. Es konnte gezeigt werden, dass neue verallgemeinerte Klassen äquivalent auch mit Gewichtsmatrizen beschrieben werden können. Weiters sind für ultradifferenzierbare Klassen neue Versionen des Joris-Theorems und allgemeine Interpolationsresultate bewiesen worden. Auch sind Anwendungen von Gewichtsmatrizen in der Theorie der partiellen Differentialoperatoren gegeben worden. Während dieses Projekts sind die Inklusionsrelationen von neuen gewichteten Klassen von global definierten Funktionen vom Gelfand-Shilov-Typ charakterisiert worden. Der Projektleiter hat mit seinen Kollaborationspartnern Céline Esser von der Université de Liège, Armin Rainer von der Universität Wien und Javier Sanz Gil von der Universidad de Valladolid zusammengearbeitet. Weiters ist im Rahmen dieses Projekts David Nicolas Nenning als Postdoc vom 1. September 2020 bis 31. Mai 2023 an der Universität Wien angestellt gewesen und er hat wesentlich bei der Lösung einiger Fragestellungen mitgewirkt. Mit Chiara Boiti (Ferrara), David Jornet (Valencia) und Alessandro Oliaro (Torino) ist über Klassen vom Gelfand-Shilov-Typ gearbeitet worden. Mit Stefan Fürdös (Universität Wien) ist an Anwendungen in der Theorie partieller Differentialoperatoren gearbeitet worden. Schließlich haben Javier Jiménez-Garrido (Univ. Cantabria, Santander) und Ignacio Miguel-Cantero (Univ. de Valladolid) mitgewirkt; Jiménez-Garrido hat vom 1. April bis 30. Juni 2022 und Miguel-Cantero hat vom 15. Februar bis 15. Mai 2023 einen Forschungsaufenthalt an der Universität Wien verbracht und beide sind während ihres Aufenthalts vom Projektleiter betreut worden.