Schräge Projektionen zur Stabilisierung und Schätzung

In diesem Projekt geht es um Stabilisierung von Lösungen partieller Differentialgleichungen und wie man diese Lösung berechnen kann. Partielle Differentialgleichungen modellieren physikalische Effekte wie sie bekannterweise in vielen konkreten Anwendungen auftretende, wie zum Beispiel Populationsdynamik, Wärme- Ausbreitung, Fluid-Mechanik oder auch Verkehrsfluss. Das Design robuster stabilisierender Feedback Controller ist in diesem Kontext wichtig, da ein solcher Controller eine wesentliche Rolle im Verhindern von unerwünschten Instabilitäten spielt, die durch entsprechende Dynamiken im durch die Gleichung(en) beschriebenen dynamischen System entstehen können. Im Wesentlichen ist ein Feedback Controller ein Mechanismus, der zu einem gewissen Zeitpunkt auf den Zustand des Systems zugreift und daraus direkt eine passende Steuerung für das System berechnet. Da man, selbst wenn man bereits einen stabilisierenden Feedback Controller zur Hand hat, noch hinreichenden Zugriff auf den Zustand des Systems benötigt, ist das Einschätzung der Lösung für die zugrundeliegende Gleichung ein wesentlicher Bestandteil der Fragestellung. Wir sind speziell an dem Fall interessiert, in dem die Steuerung (der Input) durch eine Linearkombination einer endlichen Menge von zur Verfügung stehenden Aktuatoren gegeben ist, und das Auslesen des Zustandes (der Output) analog mittels einer endlichen Menge von Sensoren passiert. Spezielles Augenmerk wird auf sogenannte nicht-autonome Systeme gelegt, in denen die Dynamik selbst noch zeitabhängig ist. Die Resultate lassen sich unmittelbar auf den autonomen Fall übertragen. Die zu konstruierenden Feedback Controller und Zustandsschätzer (Beobachter) sollen so einfach wie möglich gehalten werden, um eine tatsächliche Implementierung in einer Anwendung, oder in numerischen Simulationen, zu erleichtern. Spezieller werden wir explizite, auf Schräge Projektionen basierende Feedback Controller betrachten. Diese neuartige Klasse von Feedback Controllern wurde vor kurzem für parabolisch(- artige) Gleichungen entdeckt. Da ein solcher Feedback Controller voll explizit gegeben ist, ist er leicht zu implementieren und dabei weniger aufwändig als bekannte klassische Methoden wie auf Ricatti-Methoden basierendes Feedback oder die numerische Berechnung von Hamilton-Jacobi-Bellmann-Feedback. Das Projekt soll sich nicht nur auf parabolische Gleichungen beschränken. Es werden auch neue Resultate für die Stabilisierung von Modellen mit anderer Dynamik, wie zum Beispiel Wellengleichungs-artige Probleme, erwartet. Ein weiteres Ziel des Projektes ist es, mittels der Schräge Projektionen auch sogenannte Luenberger- observer zu konstruieren, womit der volle Systemzustand für sowohl parabolische als auch Wellengleichungs- artige Systeme geschätzt werden kann. Die neue Theorie wird in jedem Fall durch numerische Simulationen validiert und veranschaulicht.

Dieses Projekt hat mit Ergebnissen zur Stabilisierung mathematischer Modelle für Evolutionsphänomene in der realen Welt beigetragen. Man kann an Modelle für den sich entwickelnden Zustand von Populationen, Wärme, Fluidgeschwindigkeit und Verkehrsfluss denken. Zum Beispiel könnte der Zustand y(t) die Temperatur in einem Raum zum Zeitpunkt t>0 darstellen, und wir möchten diese Temperatur in Richtung eines gegebenen Zielwerts Y(t) stabilisieren, während die Zeit t fortschreitet. 1. Stabilisierbarkeit. Die Stabilisierung "y(t)-konvergiert-gegen-Y(t)" wird durch Rückkopplungseingaben erreicht. Das bedeutet, sobald wir den Zustand y(t) zu einem gegebenen Zeitpunkt t kennen, suchen wir nach einer Eingabe in der Aus u(t)=K(y(t)-Y(t)), die von der Differenz zum Zielzustand Y(t) abhängt. Diese Eingabe wird dann durch die Anpassung eines Satzes von Aktuatoren, die uns zur Verfügung stehen, in das System zurückgeführt. Zum Beispiel könnte die Eingabe die Werte enthalten, mit denen die Temperatur in Heizkörpern (Aktuatoren) eingestellt wird, die im Raum platziert sind. Dieses Projekt hat Ergebnisse für eine allgemeine Klasse von Modellen geliefert. Eine Besonderheit der Beiträge ist, dass der Feedback-Eingabeoperator K explizit angegeben ist, direkt in numerischen Simulationen implementiert werden kann und in Echtzeit berechnet werden kann - was wichtige Eigenschaften für Anwendungen sind. Darüber hinaus haben wir Operatoren~$K$ gefunden, deren Entwurf keine exakte Kenntnis des Modells erfordert, sondern nur von geeigneten Normen der im Modell vorkommenden Terme abhängt. Dies bedeutet, dass das vorgeschlagene Design von~$K$ robust gegenüber gewissen Modellunsicherheiten ist. Dies ist auch ein wichtiges Merkmal für Anwendungen, da mathematische Modelle in der Regel nur Annäherungen an die Dynamik realer Evolutionsprozesse sind. 2. Erkennbarkeit. Sobald wir einen stabilisierenden Feedback-Eingabeoperator K gefunden haben, erfordert die Berechnung der Eingabe u(t) die Kenntnis des Zustands y(t) zum Zeitpunkt t. Dies ist in vielen Anwendungen nicht möglich; zum Beispiel können wir die Temperatur y(t)=y(x,t) nicht an jedem einzelnen Punkt x in einem Raum messen. Daher benötigen wir in Anwendungen eine Schätzung z(t) für y(t), und dann verwenden wir stattdessen die (approximierte) Eingabe u(t)=K(z(t)-T(t)). Die Zustandsabschätzungen z(t) wurden durch die Konstruktion dynamischer Beobachter entwickelt. Diese bestehen aus einer Kopie des Modells für die gesteuerten Dynamiken plus einem zusätzlichen Zwangs-/Korrekturterm in der Form L(W(z)-w), wobei w=W(y) die Ausgabe der Sensormessungen ist. Beispielsweise ist W(y(t)) die Ausgabe partieller Messungen des Zustands y(t) zum Zeitpunkt t, die von Thermostaten an bestimmten Stellen im Raum vorgenommen wurden. Dynamische Beobachter, die Schätzungen liefern, sodass "z(t)-konvergiert-gegen-y(t) konvergiert" wenn die Zeit fortschreitet, wurden für eine allgemeine Klasse von Modellen entwickelt, wobei der Ausgabeinjektionsoperator L explizit gegeben ist. 3. Numerische Validierung. Die stabilisierende Leistung des vorgeschlagenen Feedback-Eingabeoperators K und die Erkennungs-/Schätzleistung des Ausgabeinjektionsoperators L wurden durch numerische Simulationen für parabolische Modelle validiert. Dazu gehören bekannte Modelle wie die Schloegl-, die Kuramoto-Sivashinsky- und die Cahn-Hilliard-Gleichungen.