Computeralgebra für Mehr-Schleifen Feynman-Integrale

Im digitalen Zeitalter gelang es in den letzten Jahrzehnten viele Bereiche der Mathematik algorithmisch umzusetzen. Nicht nur einfache Taschenrechner sondern auch anspruchsvolle Apps für nichttriviale Formelvereinfachungen befinden sich inzwischen auf vielen Smartphones und werden so in vielen Lebensbereichen (Schule, Studium, Beruf) wie eine Selbstverständlichkeit verwendet. Dies ist aber nur der Gipfel des Eisbergs. Mit Hilfe von neuen Computeralgebra Technologien können inzwischen komplexe Ausdrücke vereinfacht werden, die von Experten so nicht mehr behandelt werden können. Sei es, weil die auftretenden Objekte inzwischen zu kompliziert oder die Ausdrücke einfach zu groß sind. In diesem Forschungsprojekt, in enger Zusammenarbeit mit dem Deutschen Elektronen- Synchrotron (DESY, Johannes Blümlein und Peter Marquard) werden wir diese spannenden Entwicklungen der algorithmischen Mathematik auf das Forschungsgebiet der Elementarteilchenphysik anwenden. Um fundamentale Fragen wie z.B. "Wie sah das Universum unmittelbar nach dem Urknall aus?", "Gab es eine gemeinsame Urkraft der uns bekannten 4 Kräfte des Universums?" oder "Entsprechen die Eigenschaften des erst vor kurzem entdeckten Higgs-Boson Elementarteichens den Vorhersagen aus der Theorie?" zu beantworten oder sich zumindest anzunähern, müssen hochgradig komplizierte Feynman-Integrale berechnet und vereinfacht werden. Diese beschreiben das Verhalten der Elementarteilchen auf nicht trivialer Weise mit höchster Genauigkeit. Genauer werden wir anspruchsvolle Ausdrücke von massiven Mehr-Schleifen Feynman- Integralen mit mehren GB Speicherbedarf vereinfachen. In einem ersten Vorbereitungsschritt werden die Ausdrücke derart weiter verarbeitet, dass diese in die Inputklasse unserer Computeralgebra Algorithmen fallen: neben der Transformation von besser geeigneten Integral-Darstellungen werden dabei auch die Umwandlung zu verschachtelten Summen oder die Berechnung von gekoppelten linearen Differentialgleichungssystemen (lineare Gleichungssysteme mit einem Differentialoperator) vorgenommen, welche das physikalische Problem als Lösung beschreiben. In allen diesen Fällen ist es dann eine zentrale Aufgabe, riesige lineare Differentialgleichungen oder Rekurrenzen zu lösen, wobei in den Lösungen auch neuartige Funktionen auftreten, deren mathematische Eigenschaften vollkommen unbekannt sind. Um diese geplanten Monsterrechnungen durchzuführen, müssen viele hochkomplexe Hürden überwunden werden, die nur mit unseren neuen Computeralgebra-Techniken durchführbar sein werden. Insbesondere müssen neue Algorithmen aus der symbolischen Summation und Integration aber auch Technologien aus dem Bereich der speziellen Funktionen entwickelt werden. Eine besondere Herausforderung wird dabei sein, diese anspruchsvollen Algorithmen in stabile und hoch effiziente Softwarepakete umzusetzen. Zusammenfassend werden wir gigantische Ausdrücke von Mehr-Schleifen Feynman-Integralen mit Hilfe unserer optimierten und neuartigen Computeralgebra Technologien vereinfachen und letztlich zu einer Form aufbereiten, wie sie unter anderem für die Physik am Large Hardron Collider (LHC) und seinem geplanten Nachfolger am CERN, dem FCC, dringend benötigt werden. Insbesondere werden unsere Ergebnisse substantiell dazu beitragen, weitere faszinierende Erkenntnisse innerhalb der Elementarteilchenwelt zu gewinnen.

Um die fundamentalen Bausteine des Mikrokosmos zu verstehen, führen Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler am Teilchenbeschleuniger LHC des CERN extrem energiereiche Kollisionen durch. Bei diesen Experimenten - wie auch an zukünftigen Beschleunigern - ist die Messgenauigkeit entscheidend: Um kleinste Abweichungen zu erkennen, die auf bisher unbekannte Naturgesetze und neue Elementarteilchen hinweisen könnten, müssen die theoretischen Vorhersagen der Physik viel präziser sein als die experimentellen Daten. Genau hier setzt unser Projekt an. Das Ziel bestand darin, extrem komplexe mathematische Prozesse der Quantenchromodynamik (der Theorie der starken Wechselwirkungen) exakt zu berechnen. Im Zentrum standen sogenannte 3-Loop-Rechnungen - hochkomplexe Quantenkorrekturen, die für die genaue Bestimmung der Erzeugungsrate von Top-Quarks (dem schwersten bekannten Elementarteilchen), so wie anderen schweren Quarks, unerlässlich sind. Da manuelle Berechnungen dieser Prozesse die menschlichen Fähigkeiten bei Weitem übersteigen, entwickelte das Projektteam in Zusammenarbeit mit dem Deutschen Elektronen-Synchrotron (DESY) neuartige Methoden der Computeralgebra und der Theorie höherer spezieller Funktion. Diese Softwarewerkzeuge ermöglichen es, gigantische Ausdrücke von Feynman-Integralen vollautomatisch zu vereinfachen und numerisch mit extrem hoher Präzision auszuwerten. Die wichtigsten Meilensteine des Projekts: Durchbruch bei den 3-Loop-Formfaktoren: Nach jahrelanger Vorarbeit gelang es, die enorm schwierigen mathematischen Beiträge zur Top-Anti-Top-Quark-Produktionsrate am LHC und an zukünftigen Elektron-Positron-Beschleunigern, wie den geplanten FCC-ee am CERN, zu entschlüsseln. Durch die Berechnung von bis zu 40.000 Reihenkoeffizienten und den Einsatz spezialisierter Computeralgebra-Software konnten physikalische Ausdrücke mit einer Präzision von bis zu 4.000 Dezimalstellen bestimmt und in exakte mathematische Formeln übersetzt werden. Abschluss eines 18-jährigen Langzeitprojekts: Die Berechnung der sogenannten massiven 3-Loop-Operatormatrizelemente konnte in Zusammenarbeit zwischen dem Research Institute for Symbolic Computation (RISC) und dem DESY vollständig abgeschlossen werden. Diese Ergebnisse stellen der weltweiten Physik-Community erstmals schnelle und hochpräzise Werkzeuge zur Verfügung, um die innere Struktur von Protonen bei Kollisionen korrekt auf dem 3-Schleifen Niveau zu beschreiben und wird Auswirkungen auf die zukünftige Extraktion des Wertes der starken Kopplungskonstante haben. Neben den physikalischen Ergebnissen führte das Projekt zu bedeutenden Fortschritten in der symbolischen Mathematik und der Theorie spezieller Funktionen. Die entwickelten Algorithmen zur Lösung gekoppelter Differenzial- und Differenzengleichungen, zur Analyse und Bestimmung von Eigenschaften der dabei auftretenden speziellen Funktionen sowie zur Vereinfachung komplexer Summen finden mittlerweile sogar Anwendung in der reinen Zahlentheorie.