Approximationsprobleme für Dirac und Schrödinger Operatoren

In vielen Anwendungen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften ist es nicht möglich, die zugrundeliegenden mathematischen Modelle exakt zu lösen, weshalb geeignete Parameter in diesen mathematischen Modellen durch idealisierte ersetzt werden. Diese Parameter sollten dabei so gewählt werden, dass das idealisierte Modell mathematisch einfacher zugänglich ist und die physikalischen Eigenschaften des ursprünglichen Problems immer noch hinreichend exakt beschrieben werden. Dass die idealisierten Modelle die Eigenschaften der ursprünglichen Anwendungsprobleme immer noch hinreichend gut beschreiben, ist ein mathematisch schwieriges Problem, das für viele Anwendungen bisher ungelöst ist. Im vorliegenden Projekt soll diese Frage für mehrere Problemklassen mathematisch rigoros gelöst werden. Im ersten Teil des Projektes werden sogenannte Schrödinger-Operatoren mit singulären Potentialen untersucht. Diese werden einerseits zur Beschreibung von Teilchen in Nanostrukturen in der Festkörperphysik verwendet, andererseits spielen sie in der Beschreibung von photonischen Kristallen, die als schnellerer Ersatz von Halbleitern in Computersystemen schon Anwendung finden, eine wichtige Rolle. Für diese Probleme gibt es unter elementaren Voraussetzungen Ergebnisse, welche den Ersatz der realistischen Parameter durch die idealisierten singulären Potentiale rechtfertigen. Ein Hauptziel des Projekt ist es, diese elementaren Resultate für solche Fälle zu verallgemeinern, wie sie in den technischen Anwendungen vorkommen. Im zweiten Teil geht es um sogenannte Dirac-Operatoren, welche in Problemstellungen verwendet werden, in denen Effekte der speziellen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle spielen. Dies ist insbesondere bei der Beschreibung von Elementarteilchen wie Quarks oder in der Analyse von Graphen der Fall; solche Situationen treten in Anwendungen für Batterien, Wasserfilter oder in auch in der Solarzellenforschung auf. Für diese Probleme ist die mathematische Forschung noch im Anfangsstadium. Es ist eines der zentralen Ziele des Projekts, hier grundlegende Resultate über die richtige Wahl von Parametern in diesen Modellen zu erzielen, sodass die mathematischen Modelle die physikalische Realität richtig widerspiegeln.