Kategorizität durch Konvention

Nach einer weit verbreiteten naturalistischen Auffassung werden die Bedeutungen der mathematischen Begriffe durch unseren Gebrauch der mathematischen Sprache bestimmt - insbesondere durch die grundlegenden mathematischen Prinzipien, die wir zu akzeptieren bereit sind. Aber es ist rätselhaft, wie dies so sein kann, da bekanntlich minimal starke Theorien erster Ordnung, d.h. Theorien, deren Quantoren sich über Objekte erstrecken, nicht kategorial sind und daher mit unzähligen nicht-isomorphen Interpretationen kompatibel sind. Was Theorien zweiter Ordnung betrifft, d.h. Theorien, deren Quantoren sich über Objektmengen erstrecken: Obwohl sie typischerweise Kategorizitätsergebnisse genießen (d.h. es kann gezeigt werden, dass sie nur eine Art von Interpretation haben) - z.B. Dedekinds Kategorizitätssatz für PA zweiter Ordnung und Zermelos Quasi-Kategorizitätssatz für ZFC zweiter Ordnung - erfordern diese Ergebnisse eine vollständige Logik zweiter Ordnung. Sich auf diese Ergebnisse zu berufen, scheint das Problem also nur nach hinten zu verschieben, da die Prinzipien der Logik zweiter Ordnung selbst nicht kategorial sind: Diese Prinzipien sind mit eingeschränkten Interpretationen der Quantoren zweiter Ordnung kompatibel, für die die Ergebnisse von Dedekind und Zermelo nicht mehr verfügbar sind. In diesem Projekt entwickeln wir eine naturalistenfreundliche, nicht-revisionäre Lösung für ein analoges, aber scheinbar grundlegenderes Problem - Carnaps Kategorizitätsproblem für die Aussagenlogik und die Logik erster Ordnung - und zeigen, dass unsere Lösung verallgemeinerbar ist, so dass wir eine vollständige Logik zweiter Ordnung erhalten und damit die Kategorizität oder Quasi- Kategorizität mathematischer Theorien zweiter Ordnung sicherstellen. Kurz gesagt, wir behaupten, dass die Quantoren erster Ordnung ihre beabsichtigte Interpretation haben, weil wir bereit sind, die Quantorenregeln auf eine offene Weise zu befolgen. Wie wir zeigen, muss die Interpretation der Quantoren angesichts dieser Offenheit permutationsinvariant sein und somit, durch ein kürzlich von Bonnay & Westerståhl bewiesenes Theorem, die Standardinterpretation sein. Analoges gilt für den Fall zweiter Ordnung: Wir beweisen, indem wir Bonnay & Westerståhls Theorem verallgemeinern, dass die Permutationsinvarianz der Interpretation der Quantoren zweiter Ordnung, die wiederum durch die Offenheit unserer Inferenzdispositionen garantiert wird, ausreicht, um eine vollständige Logik zweiter Ordnung zu erhalten. Unsere Ansicht liefert ein neuartiges, weitgehend syntaktisches Kriterium für Logizität, eine moderate Form des Pluralismus und eine attraktive Epistemologie des Apriori. Oder so hoffen wir, zeigen zu können.