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Persistente Homologie fuer mehrere Parameter

Multi-parameter Persistent Homology

Michael Kerber (ORCID: 0000-0002-8030-9299)
  • Grant-DOI 10.55776/P33765
  • Förderprogramm Einzelprojekte
  • Status beendet
  • Projektbeginn 01.08.2021
  • Projektende 30.09.2025
  • Bewilligungssumme 391.083 €
  • Projekt-Website

Wissenschaftsdisziplinen

Informatik (45%); Mathematik (55%)

Keywords

    Persistent Homology, Topological Data Analysis, Representation Theory, Algorithm engineering, Computational Topology

Abstract Endbericht

Eine große Herausforderung der heutigen Zeit ist die Untersuchung von komplexen Daten, deren Inhalt oftmals im Verborgenen liegt. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie haben eine Gruppe von Corona-Infizierten und wissen, ob und wie lange je zwei Infizierte Kontakt zueinander hatten. Zur Nachverfolgung der Infektionen wollen Sie nun Cluster von Infizierten bilden. Dafür könnten Sie z.B. sagen, dass zwei Personen im gleichen Cluster sind, falls sie mindestens 10 Minuten Kontakt hatten. Allerdings könnte sich das Ergebnis deutlich unterscheiden, wenn Sie statt 10 Minuten 20 oder auch nur 5 Minuten als Mindestkontaktzeit nehmen. Die Kontaktzeit ist ein Beispiel für einen Parameter: ein Wert, welcher das Gesamtergebnis beeinflusst und welchen wir frei wählen können. Es ist sinnvoll, alle möglichen Parameterwerte in Betracht zu ziehen und zu untersuchen, wie sich die Cluster verändern, wenn man den Parameter ändert. Anstatt Cluster zu bilden, können wir auch andere Eigenschaften untersuchen, zum Beispiel das Vorkommen von "Löchern" in den Daten. Die persistente Homologie ist eine mathematische Theorie, die untersucht, wie sich topologische Eigenschaften (z.B. Cluster oder Löcher) ändern, wenn sich der Parameter ändert. Bei der Untersuchung von Daten ist man jedoch nicht auf einen einzelnen Parameter beschänkt. Um im Beispiel zu bleiben, kann man vielleicht weitere Rückschlüsse aus den Daten herauslesen, wenn man nur symptomatische oder schwer erkrankte Personen in Betracht zieht. Wir haben nun also zwei Parameter: Schwere der Erkrankung und Dauer des Kontaktes, und bekommen für jede Wahl andere Cluster. Auch hier stellt sich die Frage, wie sich diese Cluster entwickeln, wenn wir die Parameter ändern. Diese Erweiterung nennt sich persistente Homologie mit mehreren Parametern. Beim Übergang von einem auf mehrere Parameter entsteht ein Problem: Die mathematische Beschreibung des Analyseobjektes (im Beispiel oben: die Gesamtheit aller Cluster über alle Wahlen von Kontaktzeiten und Schwere der Erkrankung) erlaubt keine einfache Darstellung, was die Interpretation erschwert. Dennoch wurden in den letzten Jahren einige Durchbrüche erzielt, die eine Untersuchung von Daten mit mehreren Parametern in Aussicht stellen. Oftmals beschränken sich diese Arbeiten jedoch auf eine rein mathematische Sichtweise und vernachlässigen den Aspekt der praktischen Durchführbarkeit auf einem Computer. Das Ziel dieses Projektes ist die Entwicklung von Werkzeugen (d.h. Computerprogrammen), um diese Multiparameteruntersuchung auf großen Datensätzen durchführen zu können. Dafür wird neben der Erstellung und Implementierung schneller Algorithmen auch die mathematische Struktur der untersuchten Objekte eine Rolle spielen. Wir erwarten, dass die Ergebnisse des Projektes Verwendung in der anwendungsorientierten Forschung finden werden.

Eine grosse Herausforderung der heutigen Zeit ist die Untersuchung von komplexen Daten, deren Inhalt oftmals im Verborgenen liegt. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie haben eine Gruppe von Corona-Infizierten und wissen ob und wie lange je zwei Infizierte Kontakt zueinander hatten. Zur Nachverfolgung der Infektionen wollen Sie nun Cluster von Infizierten bilden. Dafuer koennten Sie z.B. sagen, dass zwei Personen im gleichen Cluster sind, falls sie mindestens 10 Minuten Kontakt hatten. Allerdings koennte sich das Ergebnis deutlich unterscheiden, wenn Sie statt 10 Minuten 20 oder auch nur 5 Minuten als Mindestkontaktzeit nehmen. Die Kontaktzeit ist ein Beispiel fuer einen Parameter: ein Wert, welcher das Gesamtergebnis beeinflusst, und welchen wir frei waehlen koennen. Es ist sinnvoll, alle moeglichen Parameterwerte in Betracht zu ziehen und zu untersuchen, wie sich die Cluster veraendern, wenn man den Parameter aendert. Anstatt Cluster zu bilden, koennen wir auch andere Eigenschaften untersuchen, zum Beispiel das Vorkommen von "Lochern" in den Daten. Die persistente Homologie ist eine mathematische Theorie, die untersucht, wie sich topologische Eigenschaften (z.B. Cluster oder Loecher) aendern, wenn sich der Parameter aendert. Bei der Untersuchung von Daten ist man jedoch nicht auf einen einzelnen Parameter beschraenkt. Um im Beispiel zu bleiben kann man vielleicht weitere Ruckschluessen aus den Daten herauslesen, wenn man nur symptomatische oder schwer erkrankte Personen in Betracht zieht. Wir haben nun also zwei Parameter: Schwere der Erkrankung und Dauer des Kontaktes und bekommen fuer jede Wahl andere Cluster. Auch hier stellt sich die Frage, wie sich diese Cluster entwickeln, wenn wir die Parameter aendern. Diese Erweiterung nennt sich persistente Homologie mit mehreren Parametern. Beim Uebergang von einem auf mehrere Parameter entsteht ein Problem: die mathematische Beschreibung des Analyseobjekts (im Beispiel oben: die Gesamtheit aller Cluster ueber allen Wahlen von Kontaktzeiten und Schwere der Erkrankung) erlaubt keine einfache Darstellung, was die Interpretation erschwert. Dennoch wurden in den letzten Jahren einige Durchbrueche erzielt, die eine Untersuchung von Daten mit mehreren Parametern in Aussicht stellen. Oftmals beschraenken sich diese Arbeiten jedoch auf eine rein mathematische Sichtweise und vernachlaessigen den Aspekt der praktischen Durchfuehrbarkeit auf einem Computer. Dieses Projektes entwickelte eine neue Generation von Werkzeugen (d.h. Computerprogrammen), um diese Multiparameteruntersuchung auf grossen Datensatzen durchfuehren zu koennen. Dafuer hat neben der Erstellung und Implementierung schneller Algorithmen auch die mathematische Struktur der untersuchten Objekte eine Rolle gespielt. Wir erwarten, dass die Ergebnisse des Projekts Verwendung in der answendungsorientierten Forschung finden werden.

Forschungsstätte(n)
  • Technische Universität Graz - 100%
Nationale Projektbeteiligte
  • Herbert Edelsbrunner, Institute of Science and Technology Austria - ISTA , nationale:r Kooperationspartner:in
  • Peter Grabner, Technische Universität Graz , nationale:r Kooperationspartner:in
  • Robert Tichy, Technische Universität Graz , nationale:r Kooperationspartner:in
Internationale Projektbeteiligte
  • Jean-Daniel Boissonnat, INRIA Sophia Antipolis - Frankreich
  • Siddharth Pritam, Inria - Frankreich
  • Claudia Landi, Universita di Modena e Reggio Emilia - Italien
  • Emerson Escolar, RIKEN Center for Advanced Intelligence Project - Japan
  • Tamal Dey, Purdue University - Vereinigte Staaten von Amerika
  • Michael Lesnick, SUNY Albany - Vereinigte Staaten von Amerika
  • Matthew Wright, University of Minnesota - Vereinigte Staaten von Amerika

Research Output

  • 24 Zitationen
  • 35 Publikationen
  • 4 Datasets & Models
  • 4 Software
  • 3 Wissenschaftliche Auszeichnungen
Publikationen
  • 2025
    Titel Persistent Cosheaved Spaces: Foundations, Algorithms, and Applications in Topological Data Analysis
    Typ PhD Thesis
    Autor Florian Russold
    Link Publikation
  • 2025
    Titel Computation and structure of bifiltrations in multiparameter persistence
    Typ PhD Thesis
    Autor Angel Alonso
    Link Publikation
  • 2025
    Titel Decomposing Multiparameter Persistence Modules
    DOI 10.4230/lipics.socg.2025.41
    Typ Conference Proceeding Abstract
    Autor Dey T
    Konferenz LIPIcs, Volume 332, SoCG 2025
    Seiten 41:1 - 41:19
    Link Publikation
  • 2025
    Titel A Sparse Multicover Bifiltration of Linear Size
    DOI 10.4230/lipics.socg.2025.6
    Typ Conference Proceeding Abstract
    Autor Alonso �
    Konferenz LIPIcs, Volume 332, SoCG 2025
    Seiten 6:1 - 6:18
    Link Publikation
  • 2025
    Titel Decomposition of Zero-Dimensional Persistence Modules via Rooted Subsets.
    DOI 10.1007/s00454-024-00700-7
    Typ Journal Article
    Autor Alonso Áj
    Journal Discrete & computational geometry
    Seiten 818-838
  • 2024
    Titel Decomposing the Persistent Homology Transform of Star-Shaped Objects
    DOI 10.48550/arxiv.2408.14995
    Typ Preprint
    Autor Arya S
    Link Publikation
  • 2024
    Titel Graphcode: Learning from multiparameter persistent homology using graph neural networks
    DOI 10.52202/079017-1300
    Typ Conference Proceeding Abstract
    Autor Kerber M
    Seiten 41103-41131
  • 2024
    Titel Sparse Higher Order Čech Filtrations
    DOI 10.1145/3666085
    Typ Journal Article
    Autor B Dornelas B
    Journal Journal of the ACM
  • 2025
    Titel Decomposing Multiparameter Persistence Modules
    DOI 10.48550/arxiv.2504.08119
    Typ Preprint
    Autor Dey T
    Link Publikation
  • 2025
    Titel Tight quasi-universality of Reeb graph distances.
    DOI 10.1007/s41468-025-00203-1
    Typ Journal Article
    Autor Bauer U
    Journal Journal of applied and computational topology
    Seiten 7
  • 2025
    Titel Expected Complexity of Barcode Reduction.
    DOI 10.1007/s41468-025-00218-8
    Typ Journal Article
    Autor Giunti B
    Journal Journal of applied and computational topology
    Seiten 29
  • 2024
    Titel On the scanning map and the space of smooth complex projective hypersurfaces
    DOI 10.1093/qmath/haae056
    Typ Journal Article
    Autor Alonso Á
    Journal The Quarterly Journal of Mathematics
  • 2024
    Titel Delaunay Bifiltrations of Functions on Point Clouds; In: Proceedings of the 2024 Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA)
    DOI 10.1137/1.9781611977912.173
    Typ Book Chapter
    Verlag Society for Industrial and Applied Mathematics
  • 2024
    Titel Probabilistic Analysis of Multiparameter Persistence Decompositions into Intervals
    DOI 10.4230/lipics.socg.2024.6
    Typ Conference Proceeding Abstract
    Autor Alonso �
    Konferenz LIPIcs, Volume 293, SoCG 2024
    Seiten 6:1 - 6:19
    Link Publikation
  • 2022
    Titel Average Complexity of Matrix Reduction for Clique Filtrations
    DOI 10.1145/3476446.3535474
    Typ Conference Proceeding Abstract
    Autor Giunti B
    Seiten 187-196
    Link Publikation
  • 2022
    Titel A Unified View on the Functorial Nerve Theorem and its Variations
    DOI 10.48550/arxiv.2203.03571
    Typ Preprint
    Autor Bauer U
  • 2021
    Titel Tight quasi-universality of Reeb graph distances
    DOI 10.48550/arxiv.2112.00720
    Typ Preprint
    Autor Bauer U
  • 2022
    Titel Keeping it sparse: Computing Persistent Homology revisited
    DOI 10.48550/arxiv.2211.09075
    Typ Preprint
    Autor Bauer U
  • 2021
    Titel Compression for 2-Parameter Persistent Homology
    DOI 10.48550/arxiv.2107.10924
    Typ Preprint
    Autor Fugacci U
  • 2023
    Titel Abelian and model structures on tame functors
    DOI 10.48550/arxiv.2301.04079
    Typ Preprint
    Autor Chachólski W
    Link Publikation
  • 2023
    Titel Sparse Higher Order Čech Filtrations
    DOI 10.48550/arxiv.2303.06666
    Typ Preprint
    Autor Buchet M
    Link Publikation
  • 2023
    Titel The Localized Union-of-Balls Bifiltration
    DOI 10.48550/arxiv.2303.07002
    Typ Preprint
    Autor Kerber M
    Link Publikation
  • 2021
    Titel $\ell^p$-Distances on Multiparameter Persistence Modules
    DOI 10.48550/arxiv.2106.13589
    Typ Preprint
    Autor Bjerkevik H
    Link Publikation
  • 2021
    Titel Asymptotic Improvements on the Exact Matching Distance for 2-parameter Persistence
    DOI 10.48550/arxiv.2111.10303
    Typ Preprint
    Autor Bjerkevik H
    Link Publikation
  • 2023
    Titel A unified view on the functorial nerve theorem and its variations
    DOI 10.1016/j.exmath.2023.04.005
    Typ Journal Article
    Autor Bauer U
    Journal Expositiones Mathematicae
  • 2023
    Titel Asymptotic improvements on the exact matching distance for $2$-parameter persistence
    DOI 10.20382/jocg.v14i1a12
    Typ Journal Article
    Autor Bjerkevik H
    Journal Journal of Computational Geometry
    Link Publikation
  • 2023
    Titel The Localized Union-Of-Balls Bifiltration
    DOI 10.4230/lipics.socg.2023.45
    Typ Conference Proceeding Abstract
    Autor Kerber M
    Konferenz LIPIcs, Volume 258, SoCG 2023
    Seiten 45:1 - 45:19
    Link Publikation
  • 2023
    Titel Sparse Higher Order Čech Filtrations
    DOI 10.4230/lipics.socg.2023.20
    Typ Conference Proceeding Abstract
    Autor B. Dornelas B
    Konferenz LIPIcs, Volume 258, SoCG 2023
    Seiten 20:1 - 20:17
    Link Publikation
  • 2023
    Titel Decomposing filtered chain complexes: Geometry behind barcoding algorithms
    DOI 10.1016/j.comgeo.2022.101938
    Typ Journal Article
    Autor Chachólski W
    Journal Computational Geometry
  • 2023
    Titel Compression for 2-parameter persistent homology
    DOI 10.1016/j.comgeo.2022.101940
    Typ Journal Article
    Autor Fugacci U
    Journal Computational Geometry
    Link Publikation
  • 2023
    Titel k-fold covers, sparsifications and simplicial collapses
    Typ PhD Thesis
    Autor Bianca Dornelas
    Link Publikation
  • 2023
    Titel Filtration-Domination in Bifiltered Graphs; In: 2023 Proceedings of the Symposium on Algorithm Engineering and Experiments (ALENEX)
    DOI 10.1137/1.9781611977561.ch3
    Typ Book Chapter
    Verlag Society for Industrial and Applied Mathematics
  • 2023
    Titel Pruning vineyards: updating barcodes and representative cycles by removing simplices
    DOI 10.48550/arxiv.2312.03925
    Typ Preprint
    Autor Giunti B
    Link Publikation
  • 2023
    Titel Topological Data Analysis in smart manufacturing: State of the art and futuredirections
    DOI 10.48550/arxiv.2310.09319
    Typ Other
    Autor Giunti B
    Link Publikation
  • 2022
    Titel On interval decomposability of 2D persistence modules
    DOI 10.1016/j.comgeo.2022.101879
    Typ Journal Article
    Autor Asashiba H
    Journal Computational Geometry
    Seiten 101879
    Link Publikation
Datasets & Models
  • 2022 Link
    Titel Benchmark Dataset for Compression for 2-Parameter Persistent Homology
    DOI 10.3217/xcs8c-hjm53
    Typ Database/Collection of data
    Öffentlich zugänglich
    Link Link
  • 2025 Link
    Titel Benchmark data sets of minimal presentations of 2-parameter persistence modules
    DOI 10.3217/rxedk-qyq77
    Typ Database/Collection of data
    Öffentlich zugänglich
    Link Link
  • 2025 Link
    Titel Aida benchmarks SoCG 2025
    DOI 10.3217/ag750-fq560
    Typ Database/Collection of data
    Öffentlich zugänglich
    Link Link
  • 2024 Link
    Titel Benchmark datasets for Keeping it sparse: Computing Persistent Homology revisited
    DOI 10.3217/hht7z-8ek20
    Typ Database/Collection of data
    Öffentlich zugänglich
    Link Link
Software
  • 2025 Link
    Titel graphcode
    Link Link
  • 2024 Link
    Titel aida
    Link Link
  • 2023 Link
    Titel function_delaunay
    Link Link
  • 2022 Link
    Titel Donut
    Link Link
Wissenschaftliche Auszeichnungen
  • 2025
    Titel SoCG Best Student Paper Award
    Typ Research prize
    Bekanntheitsgrad Continental/International
  • 2023
    Titel SoCG Best Paper Award
    Typ Research prize
    Bekanntheitsgrad Continental/International
  • 2022
    Titel Distinguished Student Author Award of ISSAC 2022
    Typ Research prize
    Bekanntheitsgrad Continental/International

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