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Persistente Homologie fuer mehrere Parameter

Multi-parameter Persistent Homology

Michael Kerber (ORCID: 0000-0002-8030-9299)
  • Grant-DOI 10.55776/P33765
  • Förderprogramm Einzelprojekte
  • Status beendet
  • Projektbeginn 01.08.2021
  • Projektende 30.09.2025
  • Bewilligungssumme 391.083 €
  • Projekt-Website

Wissenschaftsdisziplinen

Informatik (45%); Mathematik (55%)

Keywords

    Persistent Homology, Topological Data Analysis, Representation Theory, Algorithm engineering, Computational Topology

Abstract

Eine große Herausforderung der heutigen Zeit ist die Untersuchung von komplexen Daten, deren Inhalt oftmals im Verborgenen liegt. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie haben eine Gruppe von Corona-Infizierten und wissen, ob und wie lange je zwei Infizierte Kontakt zueinander hatten. Zur Nachverfolgung der Infektionen wollen Sie nun Cluster von Infizierten bilden. Dafür könnten Sie z.B. sagen, dass zwei Personen im gleichen Cluster sind, falls sie mindestens 10 Minuten Kontakt hatten. Allerdings könnte sich das Ergebnis deutlich unterscheiden, wenn Sie statt 10 Minuten 20 oder auch nur 5 Minuten als Mindestkontaktzeit nehmen. Die Kontaktzeit ist ein Beispiel für einen Parameter: ein Wert, welcher das Gesamtergebnis beeinflusst und welchen wir frei wählen können. Es ist sinnvoll, alle möglichen Parameterwerte in Betracht zu ziehen und zu untersuchen, wie sich die Cluster verändern, wenn man den Parameter ändert. Anstatt Cluster zu bilden, können wir auch andere Eigenschaften untersuchen, zum Beispiel das Vorkommen von "Löchern" in den Daten. Die persistente Homologie ist eine mathematische Theorie, die untersucht, wie sich topologische Eigenschaften (z.B. Cluster oder Löcher) ändern, wenn sich der Parameter ändert. Bei der Untersuchung von Daten ist man jedoch nicht auf einen einzelnen Parameter beschänkt. Um im Beispiel zu bleiben, kann man vielleicht weitere Rückschlüsse aus den Daten herauslesen, wenn man nur symptomatische oder schwer erkrankte Personen in Betracht zieht. Wir haben nun also zwei Parameter: Schwere der Erkrankung und Dauer des Kontaktes, und bekommen für jede Wahl andere Cluster. Auch hier stellt sich die Frage, wie sich diese Cluster entwickeln, wenn wir die Parameter ändern. Diese Erweiterung nennt sich persistente Homologie mit mehreren Parametern. Beim Übergang von einem auf mehrere Parameter entsteht ein Problem: Die mathematische Beschreibung des Analyseobjektes (im Beispiel oben: die Gesamtheit aller Cluster über alle Wahlen von Kontaktzeiten und Schwere der Erkrankung) erlaubt keine einfache Darstellung, was die Interpretation erschwert. Dennoch wurden in den letzten Jahren einige Durchbrüche erzielt, die eine Untersuchung von Daten mit mehreren Parametern in Aussicht stellen. Oftmals beschränken sich diese Arbeiten jedoch auf eine rein mathematische Sichtweise und vernachlässigen den Aspekt der praktischen Durchführbarkeit auf einem Computer. Das Ziel dieses Projektes ist die Entwicklung von Werkzeugen (d.h. Computerprogrammen), um diese Multiparameteruntersuchung auf großen Datensätzen durchführen zu können. Dafür wird neben der Erstellung und Implementierung schneller Algorithmen auch die mathematische Struktur der untersuchten Objekte eine Rolle spielen. Wir erwarten, dass die Ergebnisse des Projektes Verwendung in der anwendungsorientierten Forschung finden werden.

Forschungsstätte(n)
  • Technische Universität Graz - 100%
Nationale Projektbeteiligte
  • Herbert Edelsbrunner, Institute of Science and Technology Austria - ISTA , nationale:r Kooperationspartner:in
  • Peter Grabner, Technische Universität Graz , nationale:r Kooperationspartner:in
  • Robert Tichy, Technische Universität Graz , nationale:r Kooperationspartner:in
Internationale Projektbeteiligte
  • Jean-Daniel Boissonnat, INRIA Sophia Antipolis - Frankreich
  • Siddharth Pritam, Inria - Frankreich
  • Claudia Landi, Universita di Modena e Reggio Emilia - Italien
  • Emerson Escolar, RIKEN Center for Advanced Intelligence Project - Japan
  • Tamal Dey, Purdue University - Vereinigte Staaten von Amerika
  • Michael Lesnick, SUNY Albany - Vereinigte Staaten von Amerika
  • Matthew Wright, University of Minnesota - Vereinigte Staaten von Amerika

Research Output

  • 45 Zitationen
  • 13 Publikationen
Publikationen
  • 2025
    Titel Expected Complexity of Barcode Reduction
    DOI 10.1007/s41468-025-00218-8
    Typ Journal Article
    Autor Giunti B
    Journal Journal of Applied and Computational Topology
    Seiten 29
    Link Publikation
  • 2022
    Titel A Unified View on the Functorial Nerve Theorem and its Variations
    DOI 10.48550/arxiv.2203.03571
    Typ Preprint
    Autor Bauer U
  • 2021
    Titel Tight quasi-universality of Reeb graph distances
    DOI 10.48550/arxiv.2112.00720
    Typ Preprint
    Autor Bauer U
  • 2022
    Titel Keeping it sparse: Computing Persistent Homology revisited
    DOI 10.48550/arxiv.2211.09075
    Typ Preprint
    Autor Bauer U
  • 2021
    Titel Compression for 2-Parameter Persistent Homology
    DOI 10.48550/arxiv.2107.10924
    Typ Preprint
    Autor Fugacci U
  • 2022
    Titel On interval decomposability of 2D persistence modules
    DOI 10.1016/j.comgeo.2022.101879
    Typ Journal Article
    Autor Asashiba H
    Journal Computational Geometry
    Seiten 101879
    Link Publikation
  • 2023
    Titel Topological Data Analysis in smart manufacturing: State of the art and futuredirections
    DOI 10.48550/arxiv.2310.09319
    Typ Preprint
    Autor Uray M
  • 2023
    Titel A unified view on the functorial nerve theorem and its variations
    DOI 10.1016/j.exmath.2023.04.005
    Typ Journal Article
    Autor Bauer U
    Journal Expositiones Mathematicae
    Seiten 125503
  • 2023
    Titel Compression for 2-parameter persistent homology
    DOI 10.1016/j.comgeo.2022.101940
    Typ Journal Article
    Autor Fugacci U
    Journal Computational Geometry
    Seiten 101940
    Link Publikation
  • 2023
    Titel Decomposing filtered chain complexes: Geometry behind barcoding algorithms
    DOI 10.1016/j.comgeo.2022.101938
    Typ Journal Article
    Autor Chachólski W
    Journal Computational Geometry
    Seiten 101938
    Link Publikation
  • 2023
    Titel Abelian and model structures on tame functors
    DOI 10.48550/arxiv.2301.04079
    Typ Preprint
    Autor Chachólski W
  • 2023
    Titel Sparse Higher Order Cech Filtrations
    DOI 10.48550/arxiv.2303.06666
    Typ Preprint
    Autor Buchet M
  • 2023
    Titel The Localized Union-of-Balls Bifiltration
    DOI 10.48550/arxiv.2303.07002
    Typ Preprint
    Autor Kerber M

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