Partitionskongruenzen nach der Lokalisierungsmethode

Die zentrale Pramisse meines Projekts ist das Studium der Addition der ganzen Zahlen unter Verwendung neuer Techniken in der reinen Mathematik und Computeralgebra. Um die Idee zu verstehen, hat die Zahl 4 funf verschiedene Darstellungen in Bezug auf andere positive ganze Zahlen: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1. Jeder dieser Ausdrucke ist eine Partition von 4. Die Gesamtzahl der Partitionen einer gegebenen ganzen Zahl n wird mit p(n) bezeichnet. Somit ist p(4) = 5. Das Hauptproblem in der additiven Zahlentheorie ist das Studium von Partitionen: Wie viele Partitionen hat eine bestimmte ganze Zahl? Wie berechnet man diese Partitionen und die verschiedenen Eigenschaften von p(n), sowie die verwandten Funktionen? Die Folge von p(n) fur n = 1,2,3,4, ... sieht zufallig aus: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 57, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792,... Was diese Sequenz so bemerkenswert macht, ist, dass sie einige sehr uberraschende, einfache und tiefe arithmetis- che Eigenschaften hat. Wenn wir zum Beispiel mit der vierten Nummer in dieser Sequenz beginnen, 5, und danach jede funfte Nummer nehmen, ergibt dies die folgende Sequenz: 5, 30, 135, 490, 1575, 4565, 12310, 31185, 75175, 173525, 386155, 831820, 1741630,... Dies bedeutet, dass fur jede ganze Zahl n, p(5n + 4) durch 5 teilbar sein muss. Dieses Ergebnis wurde von Ramanujan vor mehr als hundert Jahren entdeckt. Bei der Untersuchung zusatzlicher Daten konnte Ramanujan einige extrem tiefe und komplizierte Teilbarkeit- seigenschaften von p(n) erraten. Seine Vermutungen wurden in den nachsten funfzig Jahren mit einigen kleinen Anderungen schrittweise bewiesen. Die Struktur und Tiefe der arithmetischen Eigenschaften von p(n) ist unglaublich. Daruber hinaus hangen diese Teilbarkeitseigenschaften mit sehr unterschiedlichen Problemen in der Mathematik zusammen, einschließlich der Formen bestimmter zugrunde liegender geometrischer Objekte, die als riemannsche Flachen, sowie bestimmter symmetrischer Funktionen, die als Modulformen bezeichnet werden. Das Studium dieser anderen Probleme erfordert ein Verstandnis von Algebra, Analyse, Geometrie und Topologie. Dies macht das Studium von Partitionen so wichtig: Ein tieferes Verstandnis von p(n) kann moglicherweise ein besseres Verstandnis fur eine Vielzahl von Ideen der restlichen Mathematik schaffen. Ich untersucke p(n) zusammen mit einer großen Anzahl verschiedener Funktionen, die sehr eng mit p(n) ver- wandt sind. Insbesondere entwickle ich Rechenwerkzeuge, mit denen wir in diesen Funktionen nach Teilbarkeit- seigenschaften suchen konnen, und forsche an neue Techniken, um diese Eigenschaften zu beweisen. Ich arbeite eng mit Prof. Peter Paule vom Institut fur Symbolisches Rechnen der Johannes Kepler Universitat Linz, sowie mit Dr. Michael Schlosser von der Universitat Wien zusammen. 1

Der Fokus dieses Projekts liegt darauf, wie ganze Zahlen addiert werden. Ich habe gezeigt, wie wir die Untersuchung der Teilbarkeitseigenschaften von arithmetischen Funktionen, die mit Modulformen verbunden sind, erweitern und verbessern können. Um zu verstehen, was das bedeutet, stellen Sie sich vor, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine bestimmte ganze Zahl als Summe anderer ganzer Zahlen auszudrücken. Wir können zum Beispiel 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1 schreiben. Es gibt also fünf verschiedene Möglichkeiten, 4 als Summe anderer ganzer Zahlen darzustellen. Wir schreien dies als p(4)=5. Wenn wir die Folge p(n) für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... betrachten, beginnt sie folgendermaßen: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575,... Diese Zahlen sehen auf den ersten Blick zufällig aus. Im Jahr 1918 jedoch entdeckte Ramanujan, dass, wenn man bei p(4)=5 beginnt und nur jede fünfte Zahl in der obigen Folge zählt, wir 5, 30, 135, 490, 1575,... erhalten. Diese Zahlen sind alle durch 5 teilbar. Außerdem, wenn 24n-1 durch 5^k teilbar ist, und zwar für eine beliebige positive ganze Zahl k, dann muss p(n) ebenfalls durch 5^k teilbar sein. Das ist ein bemerkenswertes Ergebnis und es ist ganz und gar nicht zufällig! Der Grund für diese Muster ist, dass p(n) mit einem seltsamen Objekt, einer sogenannten Modulform, zusammenhängt. Modulformen sind sehr abstrakte und unendliche Objekte, die sowohl mit der Theorie der Primzahlen als auch mit wichtigen algebraischen Objekten, den elliptischen Kurven, in Verbindung stehen. Wenn wir verstehen, warum diese seltsamen Teilbarkeitseigenschaften bei Funktionen wie p(n) auftreten, hilft uns das Modulformen zu verstehen und wie diese mit elliptischen Kurven und Primzahlen zusammenhängen. Dies wiederum hat enorme Auswirkungen auf Computermathematik, Kryptographie (wie wir Passwörter verschlüsseln, um unsere Daten im Internet zu schützen), Physik (wie wir das Verhalten von Elementarteilchen in der Quantenfeldtheorie und der Stringtheorie richtig berechnen können) und andere Bereiche der Mathematik (wie das Goldbach-Problem und Fermats letzter Satz). Es gibt weitere Modulformen, die mit anderen Arten von Funktionen als p(n) zusammenhängen, deren Output zufällig aussieht, aber sehr wichtige Muster enthält. Einige dieser Muster sehen genauso aus wie die Teilbarkeitseigenschaften von p(n), die ich bereits erklärt habe. Einige von ihnen sind jedoch viel schwieriger zu verstehen! Ich habe neue Techniken entwickelt, um diese ungelösten Vermutungen zu untersuchen. Mit Hilfe dieser Techniken ist es mir gelungen einige dieser sehr schwierigen Vermutungen zu beweisen, was einige führende Experten auf dem Gebiet der Zahlentheorie überrascht hat. Außerdem war ich auch in der Lage die verschiedenen Teilbarkeitsprobleme in diesem Gebiet danach zu klassifizieren wie schwierig sie zu beweisen sind. Dies wird zukünftigen Forschern dabei helfen andere herausfordernde Probleme zu lösen.