Fourier-Transformation und Cauchy-Kowalevski-Theorem für GSF

Das Hauptziel des Projektes ist die Gewinnung einiger wichtiger Resultate in der mathematischen Analysis von verallgemeinerten glatten Funktionen (VGF). Diese Funktionen sind besonders nützlich zur Beschreibung von schnell veränderlichen Phänomenen wie beispielsweise der Schaltung von elektrischen Schaltkreisen, der Bewegung in grobkörnigen Medien, der Quantenmechanik, usw. In diesem Kontext sind in jüngster Zeit neue Resultate zur Lösung von Differentialgleichungen bewiesen worden. Das Projekt zielt primär auf die Entwicklung folgender Bereiche ab: 1. Hyperendliche Fourier-Transformation, anwendbar auf alle VGF; 2. Klassische Fourier-Transformation, anwendbar auf stark fallende VGF; 3. Beweis des Satzes von Cauchy-Kovalevski für hyper-analytische VGF. Wir erwarten eine breite Anwendbarkeit dieser Resultate, insbesondere in der Quantenmechanik, der Signalanalyse und der Lösbarkeitstheorie von partiellen Differentialgleichungen. Die hauptsächlich beteiligten ForscherInnen, nämlich der Antragsteller P. Giordano und Prof. M. Kunzinger, werden die PhD-KandidatInnen A. Mukhammadiev und D. Tiwari betreuen. Das Projekt soll die Fertigstellung ihrer Disserationen innerhalb eines Jahres finanzieren.

Das Hauptziel des Projekts war die Entwicklung einiger wichtiger Ergebnisse in der mathematischen Analyse von verallgemeinerten glatten Funktionen (GSF). Diese Funktionen sind nützlich, um sich schnell verändernde Phänomene zu beschreiben, wie z.B. das Brechen von Stahlkonstruktionen, das Schalten von elektrischen Schaltkreisen, die Bewegung durch verschiedene oder körnige Medien, die Quantenmechanik, usw. In diesem Zusammenhang wurden kürzlich neue allgemeine Existenzresultate für Differentialgleichungen bewiesen. Die Hauptziele, die wir im vorliegenden Vorschlag entwickelt haben, sind folgende: 1. Hyperfinite Fourier-Transformation, anwendbar auf alle GSF; 2. Klassische Fourier-Transformation, anwendbar auf schnell abnehmende GSF; 3. Eine Theorie der verallgemeinerten holomorphen Funktionen, d.h. der verallgemeinerten Funktionen einer komplexen Variablen. Das breite Spektrum der Anwendbarkeit dieser Ergebnisse findet potentielle Anwendungen in der Quantenmechanik, der Signalanalyse und bei der Lösung von Differentialgleichungen. Die wichtigsten beteiligten Forscher waren der Antragsteller P. Giordano und Prof. M. Kunzinger sowie vier Doktoranden. Zwei von ihnen haben ihr Doktoratsstudium bereits erfolgreich abgeschlossen.