Schnelle Verfahren für adaptive Isogeometrische Analysis

Computersimulationen von verschiedenen physikalischen Prozessen, wie etwa Elastizität von Festkörpern oder Strömung von Flüssigkeiten, spielen eine wichtige Rolle in vielen modernen Problemstellungen in Wissenschaft und Technik. Dabei kommen verschieden mathematische Verfahren zur Anwendung; im vorliegenden Projekt beschäftigen wir uns mit der sogenannten Isogeometrischen Analysis, einem relativ jungen Ansatz, der dadurch größeres Interesse auf sich zog, dass er direkt mit gekrümmten Oberflächen und Körpern umgehen kann - man denke etwa an eine Autokarosserie oder ein Tragflächenprofil. In älteren Verfahren müssen solche Objekte oft aufwändig mit geradlinigen Elementen angenähert werden. Ein wichtiges Merkmal moderner Simulationsmethoden ist die sogenannte Adaptivität. Damit wird die Fähigkeit bezeichnet, den Rechenaufwand automatisch so zu verteilen, dass Teile der Simulation, die mehr Details beinhalten, auch genauer aufgelöst werden. Man denke beispielsweise an eine Strömung, die zunächst gleichförmig verläuft, an anderer Stelle aber Verwirbelungen aufweist; es ist dann sinnvoll, diese Turbulenzen mit höherer Auflösung zu simulieren und somit dort auch mehr Rechenaufwand zu investieren. Insgesamt spart man so Rechenleistung bei gleichbleibender Qualität des Resultats. Wir interessieren uns dafür, wie man solche adaptive Simulationen im Bereich der Isogeometrischen Analysis möglichst recheneffizient durchführen kann. Dazu entwerfen wir neue Algorithmen, die auf der Idee von sogenannten Mehrgitter-Lösern basieren. Grob gesagt betrachtet man dabei das Problem auf mehreren verschiedenen Auflösungsstufen gleichzeitig, ähnlich verschieden scharfen Auflösungen eines Videos. Durch geschickten Transfer von Informationen zwischen groben und feinen Auflösungen kann man tatsächlich Löser erhalten, die deutlich schneller sind als solche, die sich nur auf eine Detailstufe beschränken. Wie diese Detailstufen des Mehrgitter-Lösers mit den lokal unterschiedlichen Auflösungen, die sich aus Adaptivität ergeben, interagieren, ist dabei unter anderem Forschungsgegenstand. So erhoffen wir uns neue adaptive Simulationsmethoden, die deutlich effizienter sind als der Status quo.