Geometrie der Baum-Connes Vermutung

Dieses Projekt befasst sich mit einem ungelösten Problem in der reinen Mathematik, der Baum-Connes Vermutung. Dieser Artikel beschreibt in nicht technischen Begriffen, was dieses Problem ist und wie wir es lösen wollen. Das Problem ist bedeutsam, weil es an der Schnittstelle vieler Zweige der reinen Math- ematik liegt. Die Lösung der BaumConnes-Vermutung, kurz BCC, hat daher Auswirkungen auf viele ungelöste Probleme wie Novikovs Vermutung in der Topologie oder Kadison-Kaplanskys Vermutung in der Operatortheorie. Wir beginnen mit einer Version von BCC. In dieser Version benötigen wir zwei Elemente: Symmetrien und Dirac-Operatoren. Die Idee der Symmetrie ist für uns sehr intuitiv. Jede Symmetrie ist ein Prozess, der auf eine Form angewendet werden kann, ohne sie zu ändern. Mathe- matiker abstrahieren das Konzept der Symmetrien zu einer sogenannten Gruppe. Zwei Formen haben die gleiche Art von Symmetrien, wenn in beiden Fällen die abstrahierte Gruppe dieselbe ist. Gruppen erlauben uns zu sagen, wann zwei verschiedene Formen die gleiche Art von Symmetrien haben. Natür- lich suchen wir auch nach Symmetrien in Gleichungen und ihren Lösungen. Für viele Probleme ist es wichtig, die Symmetrien verschiedener Gleichungen oder Operatoren zu kennen. Zum beispiel, in der Quantenmechanik wird die Bewegung eines Elektrons vom Operator von Paul Dirac beschrieben und hat daher eine besondere Relevanz. In der Mathematik beziehen wir uns auf alle Operatoren mit einer strukturellen Ähnlichkeit zu Diracs Operator mit seinem Namen. Hier ist eine Frage, die über- raschend viele Auswirkungen hat. Wie viele wesentlich unterschiedliche Dirac-Operatoren gibt es mit derselben festen Gruppe von Symmetrien? Die Mathematiker Paul Baum und Alain Connes vermuteten eine Antwort auf diese Frage. Diese vermutete Antwort beinhaltet eine einfache "universelle" Form für die gegebene Gruppe von Symmetrien. Insbesondere ist ihre Antwort leicht zu berechnen. Ihre vermutete Antwort wurde jedoch nicht für alle Gruppen überprüft. In diesem Projekt konzentri- eren wir uns auf einige wichtige Beispiele von Gruppen. Die Hauptidee besteht darin, der universellen Form von Baum und Connes einen Rand oder eine Peripherie anzuheften. Die Randpunkte befinden sich im Unendlichen, . wenn wir sie aus der Form heraus betrachten. Durch das Anheften eines Randes wird der Geometrie der Form daher eine Skala hinzugefügt Unser Ziel ist es, diese Skala in der Geometrie zu verwenden, um BCC zu verstehen. 1

Die Baum-Connes-Vermutung ist eine tiefgreifende Aussage in der Operatortheorie mit weitreichenden Implikationen, sollte sie sich als wahr erweisen. Dieses Projekt untersuchte die Gültigkeit dieser Vermutung aus geometrischer Sicht. Dazu untersuchen wir parabolische Geometrien, also Geometrien mit bestimmten Symmetrien, sogenannte semi-einfache Lie-Gruppen (genauer gesagt Gitter dieser Gruppe). Im Rahmen dieses Projekts konstruieren und analysieren wir modifizierte hypoelliptische Operatoren auf parabolischen Geometrien. Diese Operatoren spielen in diesem Aufbau voraussichtlich die Rolle von "Dirac"-Operatoren. Insbesondere haben wir das Ziel erreicht, den erforderlichen Operatortyp zu konstruieren und ihnen eine Formel für ihren Index zuzuordnen. In den Argumenten spielen Deformationen und Gruppoide, die wir entwickeln und die von der geeigneten Wahl einer Untermannigfaltigkeit abhängen, eine entscheidende Rolle.