Regularität und Komplexität in der CR-Geometrie

Die Cauchy-Riemann-Geometrie (kurz: CR-Geometrie) ist ein Bereich der Mathematik, der auf die Forschung von H. Poincaré und E. Cartan zurückgeht und an der Grenze zwischen mehreren grundlegenden mathematischer Disziplinen wie komplexen Analysis, Differentialgeometrie und partiellen Differentialgleichungen (PDEs) liegt. Unter dem Gesichtspunkt der komplexen Analysis ist die CR-Geometrie ein Werkzeug zur Untersuchung holomorpher Funktionen in mehreren Variablen; aus Sicht der Differentialgeometrie ist die CR-Geometrie eine Modellgeometrie im Rahmen der Moving Frame- Maschinerie von Cartan. Aus Sicht der Theorie der linearen PDEs ist die CR- Geometrie ein Werkzeug zur Untersuchung allgemeiner linearer PDEs mit Hilfe geometrischer Methoden aus der komplexen Analysis und Geometrie. In seinen jüngsten Arbeiten hat der PI ein neues Gesicht der CR-Geometrie entdeckt, das eng mit der Theorie der (stetigen) dynamischen Systeme verbunden ist. Der PI hat in seiner Arbeit mit mehreren Co-Autoren ein Vokabular zwischen Untersuchungsobjekten der CR-Geometrie (CR- Mannigfaltigkeiten und CR-Abbildungen) einerseits und Klassen dynamischer Systeme und deren Transformationen andererseits entwickelt. Diese Brückentechnik wird als CR-DS-Technik bezeichnet. Die CR-DS-Technik hat es kürzlich ermöglicht, eine Reihe langjähriger Probleme in Bezug auf CR- Mannigfaltigkeiten mit starken Degenerierungen der CR-Struktur zu lösen. Das aktuelle Forschungsprojekt zielt darauf ab, mit Hilfe der CR-DS-Technik weitere schwierige Probleme in der CR-Geometrie anzugehen, diesmal nicht nur im Zusammenhang mit Abbildungen degenerierten CR-Mannigfaltigkeiten, sondern auch mit Abbildungen zwischen nicht-degenerierten CR-Mannigfaltigkeiten unterschiedlicher Dimension. Es ist geplant, die Gevrey-Regularität von Abbildungen zwischen degenerierten reellen Hyperflächen in komplexen Räumen zu untersuchen, die analytische Regularität von CR-Einbettungen zwischen strikt pseudokonvexen reellen Hyperflächen zu untersuchen, notwendige und hinreichende Bedingungen für die Einbettbarkeit von CR- Mannigfaltigkeiten in eine Hyperquadrik und Bedingungen für die Algebraisierbarkeit für reelle Hyperflächen zu finden. Das Projektteam besteht aus dem PI, Dr. Jan Gregorovic, und Kollegen des Wiener Instituts für Technologie.