Selbstähnliche Singularitäten in Evolutionsgleichungen

Nichtlineare Evolutionsgleichungen, d. h. nichtlineare zeitabhängige partielle Differentialgleichungen, sind zentral für die mathematische Beschreibung von Naturphänomenen. So werden z. B. Fluidströmungen und die Evolution des Universums in der Physik, Populationsdynamik und Zellteilung in der Biologie, Krebswachstum und Ausbreitung von Infektionskrankheiten in den medizinischen Wissenschaften mit Hilfe von nichtlinearen Evolutionsgleichungen modelliert. Darüber hinaus spielen diese Gleichungen auch bei der Behandlung von rein mathematischen Problemen eine wichtige Rolle. In diesem Projekt befassen wir uns mit zwei Typen von Evolutionsgleichungen, nämlich den Wellengleichungen und parabolischen Gleichungen. Sie tauchen in einer Reihe von Gebieten aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften auf, z.B. in der Fluiddynamik, Optik, allgemeinen Relativitätstheorie, Teilchenphysik, Populationsdynamik, Bildverarbeitung, Wärmeleitung und vielen anderen. Doch trotz ihrer Allgegenwart in den Anwendungen ist das mathematische Verständnis dieser Gleichungen noch unbefriedigend. Eine besonders relevante, aber noch nicht ausreichend erforschte Frage ist die nach dem zeitlich endlichen Zusammenbruch von Lösungen (auch Singularitätsbildung oder Blow-Up genannt). Physikalisch gesehen deutet die Bildung von Singularitäten auf eine radikale Veränderung des modellierten Phänomens hin (z.B. Bildung eines Schwarzen Lochs), oder auf das Auftreten einer neuen (singulären) Struktur (z.B. Tropfenbildung in Flüssigkeiten), oder darauf, dass dem Modell tatsächlich etwas Wesentliches an Physik fehlt. In den letzten Jahren gab es bedeutende Fortschritte in der Forschung zum Thema Blow-Up für Wellengleichungen und parabolische Gleichungen. Die meisten Ergebnisse betreffen jedoch die sogenannten kritischen und subkritischen Fälle, d. h. die Fälle, in denen die erhaltenen Größen der Gleichungen zur Kontrolle der Entwicklung verwendet werden können. Wenn eine solche Kontrolle nicht möglich ist, werden die Gleichungen als superkritisch bezeichnet, und ihre Analyse ist entsprechend schwieriger. Darüber hinaus zeigen numerische Untersuchungen verschiedener Typen von superkritischen Gleichungen, dass Lösungen mit großen Daten im Allgemeinen zusammenbrechen, wobei der Blow-Up durch sogenannte selbstähnliche Lösungen bestimmt wird. Angesichts dieser Erkenntnisse ist das Hauptziel dieses Projekts die Entwicklung neuer, allgemeiner und robuster Methoden zur Untersuchung der Existenz und Stabilität von selbstähnlichem Blow-Up für superkritische Wellengleichungen und parabolische Gleichungen. Wir beabsichtigen, dies durch die Analyse konkreter Modelle zu tun: Wellen- und Wärmeleitungsgleichungen mit fokussierender Potenz- Nichtlinearität, Wellenabbildungen, hyperbolischen Yang-Mills-Gleichungen und das Keller-Segel-Modell für Chemotaxis. Unser Ansatz beinhaltet eine Kombination von Methoden aus der klassischen Analyse partieller Differentialgleichungen, der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, der nichtlinearen Funktionalanalysis, der Operatortheorie und der Approximationstheorie. Unser übergreifendes Ziel ist eine systematische und rigorose Untersuchung der Stabilität von Blow-Up in Evolutionsgleichungen im Allgemeinen und die Entwicklung von Techniken, die effizient auf realistische physikalische Modelle angewendet werden können.

Nichtlineare Evolutionsgleichungen sind von zentraler Bedeutung für die mathematische Beschreibung von Naturphänomenen. Ein wichtiges Thema in diesem Rahmen ist der Zusammenbruchs von Lösungen in endlicher zeit, auch "Singularitätsbildung" oder "Blowup" genannt. Das Hauptziel dieses Projekts bestand darin, eine bestimmte Art von Blowup-Lösungen, nämlich selbstähnliche Blowup Lösungen, im Zusammenhang mit zwei Klassen nichtlinearer Evolutionsgleichungen aus theoretischer Sicht zu untersuchen. Für nichtlineare Wellengleichungen, die in Bereichen wie der Elastizitätstheorie, der Optik und der allgemeinen Relativitätstheorie auftreten, haben wir eine mathematische Theorie zur Stabilität von selbstähnlichen Lösungen entwickelt. Aus physikalischer Sicht ist das Verständnis der Stabilität von Blowup Lösungen von wesentlicher Bedeutung, da in der Natur nur stabile Strukturen zu beobachten sind. Wir haben die entwickelte Theorie auf zwei nichtlineare Wellenmodelle angewandt: die hyperbolischen Yang-Mills-Gleichungen und die Wave Maps Gleichung, die beide in der Teilchenphysik Anwendung finden. In beiden Fällen konnten wir die Stabilität einer bestimmten selbstähnlichen Lösung nachweisen, deren Existenz bereits seit über einem Jahrzehnt bekannt war. Der zweite Teil des Projekts konzentrierte sich auf nichtlineare parabolische Gleichungen, die in der Verbrennungstheorie, der Fluiddynamik, der Chemotaxis, der Bildverarbeitung und vielen anderen Bereichen der angewandten Wissenschaften auftreten. Wir entwickelten ein entsprechenden mathematisches Rahmenwerk, um die Stabilität von selbstähnlichen Blowup Lösungen auch in diesem Kontext zu untersuchen. Anschließend haben wir in diesem Rahmen zwei wichtige parabolische Modellgleichungen untersucht. Die erste ist der Wärmefluss harmonischer Abbildungen, der aus der geometrischen Analyse stammt und sich mit der Geometrie von hochdimensionalen Objekten beschäftigt. Das zweite ist das Keller-Segel-System, das aus der mathematischen Biologie stammt und die Aggregation von Bakterien modelliert. Für beide Gleichungen konnten wir die Stabilität bestimmter selbstähnlicher Lösungen nachweisen und damit den allgemeinen Mechanismus der Singularitätenbildung beschreiben. Für das Keller-Segel-Modell ist uns damit gelungen, eine seit über zwei Jahrzehnten bestehende Vermutung auflösen. Die von uns entwickelten mathematischen Grundlagen haben einerseits viele wichtige Probleme in greifbare Nähe gerückt und andererseits eine Reihe neuer, hearausfordernder mathematischer Fragen aufgeworfen, die es zu beantworten gilt. Diese Richtungen wollen wir im kommenden gleichnamigen FWF-Projekt weiterverfolgen.