Partitionsidentitäten mittels Ansatz von gewichteten Wörtern

In der Mathematik und Computeralgebra ist die Faktorisierung (von ganzen Zahlen, Polynomen und Reihen) eine der grundlegenden Komponenten. Es stellt eine Verbindung zwischen additiv geschriebener Information und multiplikativ geschriebener Information her. In der Lage zu sein, verschiedene Darstellungen eines Objekts zu finden, ist mathematisch wertvoll und rechnerisch effektiv. Zum Beispiel können Menschen und Computer viel schneller addieren als multiplizieren, andererseits ist die Kenntnis der Faktoren eines Objekts analog zur Kenntnis der genauen Atome, aus denen ein Molekül besteht. In diesem Projekt konzentrieren wir uns auf ganzzahlige Partitionen (additive Darstellungen ganzer Zahlen) und suchen nach tiefgreifenden mathematischen Verbindungen zwischen ihnen. Partitionsidentitäten ist ein Forschungsgebiet, das im Schnittpunkt von Kombinatorik, Zahlentheorie, Sonderfunktionen, Darstellungstheorie mit Verbindungen zur Physik und Informatik liegt. Obwohl Partitionsidentitäten seit Euler von Interesse sind, ist es immer noch nicht klar, wann zwei Sätze von Partitionen die gleiche Anzahl von Elementen aufweisen. Es ist unklar, unter welchen Bedingungen eine Menge von Partitionen mit Differenzbedingungen äquivalent zu einer Menge von Partitionen mit Kongruenzbedingungen gemacht werden muss. Solche Identitäten werden traditionell als Identitäten vom Roger-Ramanujan-Typ bezeichnet und manifestieren sich als mathematische Identität, bei der eine unendliche Reihe faktorisiert werden kann und die einem unendlichen Produkt entspricht. In diesem Projekt planen wir, von einer kombinatorischen Technik auszugehen, die Alladi und Gordon Ende der 1990er Jahre eingeführt haben, nämlich der Methode der gewichteten Wörter, und systematisch eine breite Basis von Partitionen zu durchsuchen, um neue Partitionsidentitäten zu finden. Die Methode der gewichteten Wörter wurde in den letzten Jahren von vielen führenden Forschern verwendet, aber als kombinatorische Technik war ihre Reichweite durch fehleranfällige Berechnungen begrenzt. Kürzlich hat Dousse diese Technik erneut aufgegriffen und eine neue Version festgestellt, die für die algorithmische Behandlung geeignet ist. Dadurch können wir alle Berechnungen auf Computeralgebra-Systemen durchführen und unseren Horizont weit über die menschliche Reichweite hinaus erweitern. Der Hauptforscher Uncu implementierte zusammen mit Ablinger die ursprüngliche Technik von Dousse in ein Computeralgebrasystem und zeigte, dass damit einige bereits bekannte Identitäten des Rogers-Ramanujan-Typs nachgewiesen werden können. Dieses Projekt zielt darauf ab, die experimentelle Suche und den automatischen Nachweis von Partitionsidentitäten durch die Methode der gewichteten Wörter zu automatisieren. Unter den neuen Partitionsidentitäten plant dieses Projekt, Forschern auf der ganzen Welt hochwertige kostenlose Computeralgebra-Implementierungen zur Verfügung zu stellen und den Bereich zu verallgemeinern, in dem die gewichteten Wörter auf größere Klassen von Objekten wie zylindrische Partitionen und ebene Partitionen verwendet werden können.

Dieses Projekt ermöglichte es uns, mithilfe symbolischer Rechenwerkzeuge zahlreiche neue Beziehungen zwischen scheinbar unabhängigen mathematischen Strukturen aufzudecken. Eine Ganzzahlpartition ist ein Werkzeug zur Zerlegung und Untersuchung der additiven Eigenschaften von Zahlen. Ganzzahlpartitionen treten in allen Bereichen der Mathematik und der Hochenergiephysik auf, und ihre mathematische Behandlung bringt erhebliche rechnerische Herausforderungen mit sich. Unser Projekt konzentrierte sich hauptsächlich auf Identitäten von Ganzzahlpartitionen, bei denen die Anzahl der Elemente zweier verschiedener Mengen von Partitionen übereinstimmt. In diesem Gebiet gibt es noch viele offene Probleme. Ein Beispiel ist das Ising-Modell, das die Statistik des Magnetismus von Atomen (in der Physik), Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf diskreten Mengen (in der Wahrscheinlichkeitstheorie), Meinungsdynamiken (in der Soziologie) usw. untersucht. Es ist bekannt, dass bestimmte Identitäten von Ganzzahlpartitionen die Charakterformeln von Ising-Modellen bilden. Allerdings kennen und verstehen wir derzeit nur eine Handvoll solcher Charakterformeln unter unendlich vielen Modellen. Diese Identitäten sind selten und außerordentlich schwer zu entdecken. Wir entwickelten neue experimentelle und symbolische Rechenwerkzeuge, die Forschenden weltweit ermöglichen, neue Partitionsidentitäten zu suchen und zu beweisen. Wir erarbeiteten zahlreiche neue Algorithmen und demonstrierten deren Leistungsfähigkeit durch den Beweis neuer Identitäten. Die gemeinsame Arbeit zu zylindrischen Partitionen und unsere neuen Modulo-8-Identitäten führten zur Entdeckung einer ganzen Familie von Partitionsidentitäten. Diese Forschung hat seitdem zunehmend Aufmerksamkeit und Dynamik gewonnen. Der Projektleiter wurde während dieser Arbeiten durch das Projekt SFB F50-11 des Österreichischen Wissenschaftsfonds gefördert. Der ursprüngliche Beweis wäre ohne unsere Computerimplementierungen nicht möglich gewesen. Das Projekt P34501-N baut auf den entwickelten Werkzeugen auf und erweitert unsere mathematischen Möglichkeiten weiter. Dazu zählt unter anderem der Beweis der Modulo-11- und Modulo-13-Identitäten für zylindrische Partitionen, die im Anschluss an die Modulo-8-Identitäten entdeckt wurden, jedoch ohne die im Projekt entwickelten Werkzeuge nicht hätten bewiesen werden können. Darüber hinaus ermöglichte das Projekt Beiträge zu weiteren mathematischen Fragestellungen. In einer Reihe von Arbeiten zur Vereinfachung logischer Systeme mit Nebenbedingungen wandten der Projektleiter und seine Kooperationspartner bestehende Techniken der algebraischen Geometrie auf neue Probleme an und entwickelten sie weiter. Gemeinsam mit Forschenden der Gruppe für Symbolische Berechnung am Johann Radon Institute der Österreichischen Akademie der Wissenschaften (RICAM) wurden diese Methoden genutzt, um neue Eigenschaften der Anzahl von Ganzzahlpartitionen in einer eingeschränkten Box zu untersuchen und einige offene Probleme zu lösen. Zudem arbeitete der Projektleiter mit der Gruppe für Computational Methods am RICAM zusammen, um Optimierungsberechnungen für industrielle Anwendungen zu vereinfachen. Im Verlauf des Projekts entstanden 20 wissenschaftliche Publikationen, von denen die meisten bis zum Projektende in renommierten internationalen Fachzeitschriften und Konferenzbänden veröffentlicht wurden.