Partitionsidentitäten mittels Ansatz von gewichteten Wörtern

In der Mathematik und Computeralgebra ist die Faktorisierung (von ganzen Zahlen, Polynomen und Reihen) eine der grundlegenden Komponenten. Es stellt eine Verbindung zwischen additiv geschriebener Information und multiplikativ geschriebener Information her. In der Lage zu sein, verschiedene Darstellungen eines Objekts zu finden, ist mathematisch wertvoll und rechnerisch effektiv. Zum Beispiel können Menschen und Computer viel schneller addieren als multiplizieren, andererseits ist die Kenntnis der Faktoren eines Objekts analog zur Kenntnis der genauen Atome, aus denen ein Molekül besteht. In diesem Projekt konzentrieren wir uns auf ganzzahlige Partitionen (additive Darstellungen ganzer Zahlen) und suchen nach tiefgreifenden mathematischen Verbindungen zwischen ihnen. Partitionsidentitäten ist ein Forschungsgebiet, das im Schnittpunkt von Kombinatorik, Zahlentheorie, Sonderfunktionen, Darstellungstheorie mit Verbindungen zur Physik und Informatik liegt. Obwohl Partitionsidentitäten seit Euler von Interesse sind, ist es immer noch nicht klar, wann zwei Sätze von Partitionen die gleiche Anzahl von Elementen aufweisen. Es ist unklar, unter welchen Bedingungen eine Menge von Partitionen mit Differenzbedingungen äquivalent zu einer Menge von Partitionen mit Kongruenzbedingungen gemacht werden muss. Solche Identitäten werden traditionell als Identitäten vom Roger-Ramanujan-Typ bezeichnet und manifestieren sich als mathematische Identität, bei der eine unendliche Reihe faktorisiert werden kann und die einem unendlichen Produkt entspricht. In diesem Projekt planen wir, von einer kombinatorischen Technik auszugehen, die Alladi und Gordon Ende der 1990er Jahre eingeführt haben, nämlich der Methode der gewichteten Wörter, und systematisch eine breite Basis von Partitionen zu durchsuchen, um neue Partitionsidentitäten zu finden. Die Methode der gewichteten Wörter wurde in den letzten Jahren von vielen führenden Forschern verwendet, aber als kombinatorische Technik war ihre Reichweite durch fehleranfällige Berechnungen begrenzt. Kürzlich hat Dousse diese Technik erneut aufgegriffen und eine neue Version festgestellt, die für die algorithmische Behandlung geeignet ist. Dadurch können wir alle Berechnungen auf Computeralgebra-Systemen durchführen und unseren Horizont weit über die menschliche Reichweite hinaus erweitern. Der Hauptforscher Uncu implementierte zusammen mit Ablinger die ursprüngliche Technik von Dousse in ein Computeralgebrasystem und zeigte, dass damit einige bereits bekannte Identitäten des Rogers-Ramanujan-Typs nachgewiesen werden können. Dieses Projekt zielt darauf ab, die experimentelle Suche und den automatischen Nachweis von Partitionsidentitäten durch die Methode der gewichteten Wörter zu automatisieren. Unter den neuen Partitionsidentitäten plant dieses Projekt, Forschern auf der ganzen Welt hochwertige kostenlose Computeralgebra-Implementierungen zur Verfügung zu stellen und den Bereich zu verallgemeinern, in dem die gewichteten Wörter auf größere Klassen von Objekten wie zylindrische Partitionen und ebene Partitionen verwendet werden können.