Ärger in Cantors Paradies

Ende des 19. Jahrhunderts legte Cantor den Grundstein für die moderne Mengenlehre mit seinem Beweis, dass es verschiedene Unendlichkeiten - insbesondere mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen - gibt. Seine Forschungen stießen zunächst auf einigen Widerstand, aber Hilbert verteidigte ihn mit der berühmten Aussage: Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können. Seit Cantors Arbeit sind Mengentheoretiker daran interessiert zu verstehen, welche unterschiedlichen Eigenschaften die verschiedenen Unendlichkeiten haben und wie sie sich zueinander verhalten. Eine verbreitete Thematik ist es, bekannte Eigenschaften der kleinsten Unendlichkeit (der Menge der natürlichen Zahlen) zu nehmen und zu fragen, ob größere Unendlichkeiten ähnliche Eigenschaften haben können. Manchmal führt dies zu einer "großen Kardinalzahl", einer Zahl, die so groß ist, dass ihre Existenz im Standard-Axiomensystem ZFC nicht bewiesen werden kann. Ein anderes Mal finden wir eine Eigenschaft, die relativ kleine Unendlichkeiten haben können, die aber nicht bewiesen werden kann, eben weil sie eine Spur vor einer großen Kardinalzahl hat. Diese "großkardinalen Eigenschaften" von kleinen Unendlichkeiten sind intensiv untersucht worden, weil es sich um natürliche Begriffe handelt, die viele Konsequenzen für gewöhnliche mathematische Strukturen wie die reellen Zahlen, Kollektionen von Funktionen auf reellen Zahlen usw. haben. Einige Mengentheoretiker haben vorgeschlagen, Axiome anzunehmen, die behaupten, dass großkardinale Eigenschaften im mathematischen Universum recht häufig gelten. Neuere Arbeiten haben jedoch gezeigt, dass das umgebende Terrain etwas tückisch ist; verschiedene Formen dieser Eigenschaften kommen manchmal auf unerwartete Weise miteinander in Konflikt. Dieses Projekt zielt darauf ab, das Ausmaß dieser Spannungen sowie noch zu entdeckende Harmoniestränge zu kartografieren. Der Schwerpunkt liegt auf den Wechselwirkungen zwischen drei Arten von Phänomenen rund um Nachfolgerkardinalzahlen: saturierte Ideale, Chang`s Vermutung und die Baumeigenschaft.

Im späten 19. Jahrhundert legte Cantor mit seinem Beweis, dass es verschiedene Größen der Unendlichkeit gibt (insbesondere, dass es mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen gibt), den Grundstein für die moderne Mengenlehre. Seine Forschung stieß zunächst auf einigen Widerstand, aber Hilbert verteidigte ihn mit seiner berühmten Aussage: "Niemand soll uns aus dem Paradies vertreiben, das Cantor für uns geschaffen hat." Seit Cantors Arbeit sind Mengen-Theoretiker daran interessiert zu verstehen, welche unterschiedlichen Eigenschaften die verschiedenen Unendlichkeiten haben und wie sie miteinander in Beziehung stehen. Ein häufiges Thema ist es, bekannte Eigenschaften der kleinsten Unendlichkeit (der Menge der natürlichen Zahlen) zu nehmen und zu fragen, ob höhere Unendlichkeiten ähnliche Eigenschaften haben können. Manchmal führt dies zu einer großen Kardinalzahl, einer Zahl, die so groß ist, dass ihre Existenz im Standard-Axiomensystem ZFC nicht bewiesen werden kann. In anderen Fällen finden wir eine Eigenschaft, die relativ kleine Unendlichkeiten haben können, deren Existenz jedoch nicht bewiesen werden kann, gerade weil sie Spuren einer großen Kardinalzahl in sich trägt. Diese Größeigenschaften kleiner Unendlichkeiten wurden intensiv untersucht, da es sich um natürliche Begriffe handelt, die viele Konsequenzen für gewöhnliche mathematische Strukturen wie die reellen Zahlen, Mengen von Funktionen auf reellen Zahlen usw. haben. Einige Mengen-Theoretiker haben vorgeschlagen, Axiome zu übernehmen, die behaupten, dass Größe-Eigenschaften im mathematischen Universum recht häufig vorkommen. Jüngste Arbeiten haben jedoch gezeigt, dass das umgebende Terrain etwas tückisch ist; verschiedene Formen dieser Eigenschaften geraten manchmal auf unerwartete Weise miteinander in Konflikt. Dieses Projekt trug dazu bei, dieses Bild in zwei Richtungen zu klären. Einerseits fanden wir weitere Spannungen zwischen zwei verschiedenen Arten von Größeigenschaften - Kompaktheit und Unermesslichkeit - bei der zweiten unzählbaren Kardinalzahl. Wir fanden auch heraus, dass sehr starke Unermesslichkeitsaxiome bei benachbarten Kardinalzahlen nicht koexistieren können. Andererseits gelang uns eine harmonische Synthese, die die Konsistenz aller Nachfolger einer regulären Kardinalzahl als "minimal generisch fast riesig" zeigte, was bedeutet, dass alle diese Größenordnungen der Unendlichkeit gleichzeitig eine einfache und mächtige Eigenschaft der Größe genießen können. Dies beantwortete einige Fragen, die Foreman in den Anfängen der Erforschung dieser Begriffe gestellt hatte, und führte zur Lösung mehrerer offener Probleme in der unendlichen Kombinatorik mit Anwendungen auf Graphenfärbungen und homologische Algebra.