Lokale Statistiken für arithmetische Folgen

Eine fundamentale Beobachtung in der Mathematik betrifft die Tatsache, dass deterministische (also nicht-zufällige) Folgen von Zahlen oft Eigenschaften zeigen, die typisch für rein zufällige Folgen sind. So weist etwa die Verteilung der Primzahlen viele solche zufälligen Eigenschaften auf, auch wenn die Primzahlen natürlich auf rein deterministische Art definiert sind. Dieses Phänomen geht aber viel weiter sehr sehr viele Systeme von mathematischem Interesse weisen solches pseudo-zufälliges Verhalten auf, oft ohne dass man sagen könnte warum das eigentlich so ist. In diesem Forschungsprojekt geht es darum, solche Zufälligkeiten beziehungsweise nicht- Zufälligkeiten zu studieren, und zwar auf lokaler Ebene (ein Begriff der hier leider nicht näher erklärt werden kann). Das passende zufällige Model in diesem Kontext ist der Poisson-Prozess, ein zufälliger Prozess der beispielsweise verwendet wird, um das Eintreffen von Anrufern bei einer Telefon-Hotline zu modellieren. Erstaunlicherweise decken sich die lokalen Verteilungen vieler deterministischer Folgen von zahlentheoretischem Interesse genau mit der Verteilung dieses Poisson- Prozesses, während das für einige wenige Ausnahmen nicht der Fall ist. Es ist verblüffend dass dasselbe Phänomen auch in quantenphysikalischen Modellen in der theoretischen Physik beobachtet werden kann. In unserem Forschungsprojekt wollen wir untersuchen, welche Systeme dem Verhalten des Poisson-Prozesses folgen und welche nicht, und warum das der Fall ist. Das Thema erstreckt sich über viele verschiedene mathematische Disziplinen: Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Analysis, Ergodentheorie, mit engen Bezügen zur theoretischen Physik.

Dieses Projekt beschäftigte sich mit Themen der mathematischen Grundlagenforschung zu Themen wie der lokalen statistischen Verteilung von Punktfolgen zahlentheoretischen Ursprungs. Gemeinsam mit dem Co-Antragsteller Daniel El-Baz (als PostDoc-Researcher) haben wir intensiv an den im Antrag formulierten Problemen gearbeitet und einige sehr interessante Resultate erzielt. Einige der aus dem Projekt entstandenen Publikationen erschienen in mathematischen Zeitschriften allerhöchsten Niveaus wie etwa Journal of the European Mathematical Society oder Compositio Mathematica. Außerdem wurde während des Projekts ein Doktoratsstudent ausgebildet.