Algebraische Lösungen von Fuchsschen Differentialgleichungen

"Algebraische Lösungen von Fuchs`schen Differentialgleichungen" Das Projekt befasst sich mit einem Thema aus dem Wechselspiel von Algebra mit Analysis. Erstere untersucht mathematische Objekte durch polynomiale Gleichungen und durch Rechnen mit Buchstaben, auch Variable genannt. Dadurch hat die Algebra einen stark axiomatischen Charakter. Im Gegensatz dazu betrachtet die Analysis Grenzübergänge, sogenannte Limites, bei der ein Parameter eines Systems variiert und das Verhalten des Systems unter dieser Variation untersucht wird. Im gegenständlichen Fall kommen die Differentialgleichungen aus der Analysis, und die Lösungen sind typischerweise differenzierbare Funktionen. Bei den Fuchs`schen Differentialgleichungen, benannt nach Lazarus Fuchs aus der 2. Hälfte des 19. Jhdts., gibt es indessen einen rein algebraischen Zugang, der sozusagen das Analytische entschlüsselt. Dadurch ist das Thema besonders reiz- und anspruchsvoll. Ziel ist es, die Lösungen möglichst konzeptionell zu beschreiben.

Algebraische Lösungen von Fuchs'schen Differentialgleichungen Das Projekt befasst sich mit der algebraischen Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten. Diese sind Fuchs'sch, wenn alle Singularitäten regulär sind, d. h., wenn die lokalen Lösungen höchstens ein polynomiales Wachstum aufweisen. Im Projekt konzentrierten wir uns auf algebraische Aspekte von Fuchs'schen Gleichungen, insbesondere auf die Existenz algebraischer Potenzreihengleichungen und deren spezifische Eigenschaften. Die Untersuchung algebraischer Potenzreihen in mehreren Variablen und ihre Charakterisierung in Bezug auf Rekursionen, definierende Gleichungen, Kodifizierung erfolgte durch Methoden der kommutativen Algebra. Wir haben unsere früheren Arbeiten auf aktuelle Forschungen zu erzeugenden Funktionen von Gitterwegen, der "nestsed" Artin-Approximation und algorithmischen Fragen angewendet. Diese Untersuchungen führten zu einer zweiten Forschungslinie: Sie geht von klassischen Arbeiten aus und fügt neue strukturelle Erkenntnisse und Methoden zu Differentialgleichungen und der Existenz algebraischer Lösungen hinzu. Es wurde ein Normalformentheorem für Differentialoperatoren bewiesen, das den Operator lokal an einer Singularität als Störung seiner ursprünglichen Form interpretiert. Diese Technik wurde auf die Reduktion modulo p angewendet und brachte damit den Zusammenhang mit arithmetischen Fragen und Eisensteins Theorem über die Integralität algebraischer Reihen. Wir haben eine Variante der p-Krümmungsvermutung von Grothendieck-Katz vorgeschlagen und sie rechnerisch getestet. Unsere Techniken waren eine Mischung aus Methoden der kommutativen Algebra, Deformationstheorie, Kombinatorik, Arithmetik und experimentellen Studien. Mit Josef Schicho aus Linz und Alin Bostan aus Paris haben zwei herausragende und sehr erfahrene Mitarbeiter einen bedeutenden Beitrag geleistet. Internationale Partner waren unter anderem Nick Katz, Princeton, und Michael Singer, North Carolina.