Nichtglatte nichtkonvexe Optimierungsmethoden in Akustik

Zu den wichtigsten Problemen von aktuellem Interesse auf dem Gebiet der akustischen Signalverarbeitung gehören unter anderem: Compressed Sensing eine Technik, die darauf abzielt, ein Signal aus nur wenigen Messungen zu rekonstruieren; Rauschunterdrückung Entfernen von Rauschen oder anderen Störungen aus einem Signal; Audio-Inpainting Wiederherstellung fehlender Teile in Audiosignalen; Systemidentifikation Schätzung eines Übertragungssystems aus dem Ausgangssignal; und Phasen- Rekonstruktion um ein Signal nur aus seinen absoluten Werten wiederherzustellen. Diese Probleme teilen das Merkmal, dass sie als strukturierte, nicht-glatte nicht-konvexe Optimierungsprobleme modelliert und formuliert werden können, was bedeutet, dass man, um sie zu lösen, normalerweise eine Funktion minimieren muss, die in vielen Fällen kompliziert und weder konvex noch differenzierbar ist. Mit anderen Worten, die zu minimierende Funktion hat in der Regel kein globales Minimum, sondern viele lokale Minima und Maxima, und sie ist nicht differenzierbar, insbesondere nicht an diesen lokalen Extrema. In der Praxis wenden viele Ansätze ad-hoc-, glatte oder konvexe Methoden an, wobei sie ignorieren, dass diese nicht perfekt passen. Interessanterweise liefern einige dieser Methoden dennoch erfolgreiche Lösungen. In diesem Projekt streben wir einen ganzheitlicheren Ansatz an, der Mathematik und Anwendungen miteinander vereint. Das Hauptziel dieses Forschungsprojekts ist es, numerische Algorithmen zur Lösung solcher strukturierten, nicht-glatten, nicht-konvexen Optimierungsprobleme ohne heuristische Vereinfachungen zu entwerfen. Die vorgeschlagenen Algorithmen werden unter dem Gesichtspunkt ihrer Konvergenzeigenschaften, Genauigkeit und Stabilität analysiert. Die Anwendungen auf Audiosignalverarbeitungsprobleme werden dazu beitragen, das theoretisch fundierte Konvergenzverhalten der neuen Algorithmen zu validieren und auch ein neues Verständnis und neuartige Ansätze für wichtige Aufgaben in der Akustik, wie die oben genannten, liefern. Die theoretischen Ziele erweitern den neuesten Stand der aktuellen mathematischen Forschung, daher wird auch ihre Anwendung in der Signalverarbeitung äußerst innovativ sein. Ziel dieses anwendungsorientierten Mathematikprojekts ist es, nicht nur völlig neuartige mathematische Ergebnisse auf bestimmte Aufgabenstellungen anzuwenden, sondern auch aus diesen Anwendungen neue Konzepte und Eigenschaften zu lernen, die aus rein mathematischer Sicht interessant sind.

Zu den wichtigsten Problemen von aktuellem Interesse auf dem Gebiet der akustischen Signalverarbeitung gehören unter anderem: Compressed Sensing eine Technik, die darauf abzielt, ein Signal aus nur wenigen Messungen zu rekonstruieren; Rauschunterdrückung Entfernen von Rauschen oder anderen Störungen aus einem Signal; Audio-Inpainting Wiederherstellung fehlender Teile in Audiosignalen; Systemidentifikation Schätzung eines Übertragungssystems aus dem Ausgangssignal; und Phasen- Rekonstruktion um ein Signal nur aus seinen absoluten Werten wiederherzustellen. Diese Probleme teilen das Merkmal, dass sie als strukturierte, nicht-glatte nicht-konvexe Optimierungsprobleme modelliert und formuliert werden können, was bedeutet, dass man, um sie zu lösen, normalerweise eine Funktion minimieren muss, die in vielen Fällen kompliziert und weder konvex noch differenzierbar ist. Mit anderen Worten, die zu minimierende Funktion hat in der Regel kein globales Minimum, sondern viele lokale Minima und Maxima, und sie ist nicht differenzierbar, insbesondere nicht an diesen lokalen Extrema. In der Praxis wenden viele Ansätze ad-hoc-, glatte oder konvexe Methoden an, wobei sie ignorieren, dass diese nicht perfekt passen. Interessanterweise liefern einige dieser Methoden dennoch erfolgreiche Lösungen. In diesem Projekt streben wir einen ganzheitlicheren Ansatz an, der Mathematik und Anwendungen miteinander vereint. Das Hauptziel dieses Forschungsprojekts ist es, numerische Algorithmen zur Lösung solcher strukturierten, nicht-glatten, nicht-konvexen Optimierungsprobleme ohne heuristische Vereinfachungen zu entwerfen. Die vorgeschlagenen Algorithmen werden unter dem Gesichtspunkt ihrer Konvergenzeigenschaften, Genauigkeit und Stabilität analysiert. Die Anwendungen auf Audiosignalverarbeitungsprobleme werden dazu beitragen, das theoretisch fundierte Konvergenzverhalten der neuen Algorithmen zu validieren und auch ein neues Verständnis und neuartige Ansätze für wichtige Aufgaben in der Akustik, wie die oben genannten, liefern. Die theoretischen Ziele erweitern den neuesten Stand der aktuellen mathematischen Forschung, daher wird auch ihre Anwendung in der Signalverarbeitung äußerst innovativ sein. Ziel dieses anwendungsorientierten Mathematikprojekts ist es, nicht nur völlig neuartige mathematische Ergebnisse auf bestimmte Aufgabenstellungen anzuwenden, sondern auch aus diesen Anwendungen neue Konzepte und Eigenschaften zu lernen, die aus rein mathematischer Sicht interessant sind.