Marginal nach aussen eingefangene Röhren

Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) Einsteins ist die derzeit beste physikalische Theorie von Raum, Zeit, Materie und Energie. Sie erklärt die Schwerkraft mittels Krümmung der Raumzeit und wird mathematisch durch die Einsteingleichungen, ein System partieller Differentialgeichungen formuliert. Die ART sagt unter anderem die Existenz schwarzer Löcher voraus Raumregionen in denen die Gravitation so stark ist, dass weder materielle Körper noch Licht entweichen können. Die Grenzen dieser Regionen heißen Horizonte, wobei hier die genauere Bezeichnung Marginal nach außen eingefangene Flächen (bzw. die englische Abkürzung MOTS) verwendet wird. In ihrer zeitlichen Entwicklung bildet eine MOTS eine (ein)gefangene Röhre (MOTT). Zwei schwarze Löcher verschmelzen bei Annäherung, was erstmals 2015 durch die dabei abgestrahlten Gravitationswellen registriert wurde. Der Nachweis dieses auf der Erde sehr schwachen Signals war nur möglich, weil man auf Grund von Modellrechnungen (mittels MOTS) wusste, wonach man suchen musste. Diese Rechnungen zeigen insbesondere folgendes: Wenn sich zwei MOTS annähern, bildet sich noch vor deren Berührung eine neue, beide einhüllende MOTS. Diese spaltet sich sofort in zwei konzentrische MOTS auf, die ebenfalls beide ursprünglichen MOTS einschließen. Im weiteren Verlauf entsteht dann ein kompliziertes Geflecht von MOTS, (teilweise auch solche mit Selbstüberschneidungen) die letztlich (vermutlich) alle miteinander verschmelzen. Das Hauptziel dieses Projekts ist die Verbesserung des Verständnisses der zeitlichen Entwicklung von MOTS. Eine MOTS wird mathematisch durch eine quasilineare elliptische Differentialgleichung beschrieben. Für die Bestimmung des bei einer Verschmelzung ausgesandten Gravitationswellensignals reicht es aus, diese Gleichung numerisch zu lösen - das ist grob gesprochen ein systematisches Probieren mit dem Computer, was nur zu Näherungsaussagen führen kann. Demgegenüber sollen in diesem Projekt streng gültige, allgemeine Aussagen bewiesen werden, die die numerischen Simulationen vertiefen. Dies erfordert insbesondere die Anwendung der sogenannten Bifurkationstheorie, die qualitative Änderungen des Lösungsverhaltens von Differentialgleichungen in Abhängigkeit von Parametern beschreibt, wenn diese einen Schwellenwert erreichen im Fall der Verschmelzung ist so ein Parameter der Abstand der beiden MOTS. Ein weiterer Teil des Projekts befasst sich mit der Masse von MOTS. In der ART gibt es keine eindeutige, universell anwendbare Definition der Masse eines endlich ausgedehnten Raumgebietes (das Materie und/oder schwarze Löcher enthalten kann). Eine interessante Massendefinition, die auch auf schwarze Löcher angewendet werden kann, wurde vom Mathematiker Robert Bartnik vorgeschlagen. Wir planen, diese Definition insbesondere für axialsymmetrische MOTS zu untersuchen, wobei hauptsächlich Methoden der Funktionalanalysis angewendet werden.