Fragen zur topologischen Homogenität

Dieses Forschungsprojekt beschäftigt sich mit allgemeiner Topologie und hat folgende Bezüge zur Mengenlehre. -Verwendung von mengentheoretischen Axiomen (z.B. Martins Axiom oder V=L) oder die Annahme von Kardinalzahlinvarianten zum Beweis von Konsistenz- oder Unabhängigkeitsresultaten im Bezug auf topologische Aussagen. -Untersuchung von kombinatorischen Objekten auf Omega (z.B. Filter) aus topologischer Perspektive. -Verwendung bzw. Untersuchung der topologischen Eigenschaften von definierbaren Mengen (Borel Mengen, analytische Mengen, koanalytische Mengen, usw.). Der Fokus unserer Forschung wird auf verschiedenen Begriffen von Homogenität und Starrheit liegen. Intuitiv ist ein Raum homogen, wenn er überall gleich aussieht, während starre Räume am anderen Ende des Spektrums liegen. Insbesondere werden wir Homogenität in Bezug auf abzählbare dichte Mengen im Kontext unendlicher Potenzen, Filter und Funktionsräume betrachten. Wir planen auch, einige Fragen zu beantworten, die in einer kürzlichen Zusammenarbeit mit Z. Vidnynszky offen gelassen wurden. Diese Fragen beinhalten sigma-Homogenität und starke starke Starrheitsbegriffe. Abschließend werden wir Fragen von J. van Mill zu Aktionen polnischer Gruppen und polnischer Räume untersuchen.

Wir werden diese Zusammenfassung in drei Teile aufteilen, die jeweils nach dem Titel des entsprechenden Forschungsartikels benannt sind. (1) Jeder endlichdimensionale analytische Raum ist sigma-homogen (von C. Agostini, A. Medini). Ostrovsky gelangte 2011 zu dem überraschenden Ergebnis, dass jeder endlichdimensionale Borel-Raum sigma-homogen ist (d. h. eine abzählbare Vereinigung homogener Unterräume). Da seine Methoden jedoch stark Wadge-theoretisch sind, bräuchte man Determiniertheitsannahmen, um sie über den Borel-Raum hinaus anzuwenden. In diesem Artikel konnten wir dieses Hindernis umgehen und zeigen, dass Ostrovskys Ergebnis ohne zusätzliche mengentheoretische Annahmen auf alle endlichdimensionalen analytischen Räume erweitert werden kann. Damit ist Frage 8.2 aus der Projektbeschreibung beantwortet. (2) Abzählbare dichte Homogenität und topologische Gruppen (von C. Agostini, A. Medini, L. Zdomskyy). Ein separabler Raum X ist abzählbar dicht homogen, wenn es für jedes Paar (D,E) abzählbarer dichter Teilmengen von X einen Homöomorphismus h von X gibt, sodass h[D]=E. Bekannte Räume wie die reellen Zahlen, die Cantor-Menge und der Hilbert-Würfel sind Beispiele für abzählbare dichte homogene Räume. Ein langjähriges Thema in diesem Bereich ist die Suche nach nicht-polnischen Beispielen für abzählbare dichte homogene Räume. Das erste nicht-polnische ZFC-Beispiel wurde 2005 von Farah, Hrusak und Martinez Ranero mithilfe metamathematischer Methoden gefunden. Weitere "praktische" Beispiele folgten. In diesem Artikel haben wir ein weiteres nicht-polnisches ZFC-Beispiel vorgestellt, das zusätzlich die starke Eigenschaft besitzt, eine topologische Gruppe zu sein. Dies beantwortet Frage 6.4 aus der Projektbeschreibung. (3) Abzählbare Räume, Realkompaktheit und die Pseudoschnittzahl (von C. Agostini, A. Medini, L. Zdomskyy). Ein realkompakter Raum X ist ein Raum, der homöomorph zu einem abgeschlossenen Unterraum von R^kappa. Das minimale kappa ist die Realkompaktheitszahl von X. Ein klassisches Ergebnis von Hechler zeigt, dass die Realkompaktheitszahl von Q die dominierende Zahl d ist. Das Hauptergebnis dieses Artikels zeigt einen unerwarteten Zusammenhang mit der Pseudoschnittzahl p, wenn man anstelle von Q beliebige (d. h. nicht notwendigerweise metrisierbare) abzählbare überfüllte Räume betrachtet. Genauer gesagt sind die folgenden Aussagen für jedes Kardinal kappa äquivalent: - p kappa c, - Es existiert ein abzählbarer überfüllter Raum X, sodass die Realkompaktheitszahl von X kappa ist. Wir weisen darauf hin, dass die Ergebnisse dieses Artikels aus der Untersuchung des Problems 6.6 aus der Projektbeschreibung hervorgegangen sind. Leider bleibt dieses Problem weiterhin offen.