Herausforderungen der Theorie der Rahmen Multiplikatoren

Das Konzept eines Multiplikators ist ein natürlicher Begriff, der sich aus Anwendungen ergibt und in vielen wissenschaftlichen Fragestellungen in verschiedenen Disziplinen wie Signalverarbeitung, Mathematik, Physik und anderen vorkommt. In der Signalverarbeitung kann man sich einen Multiplikator grob als Werkzeug zur Signalmodifikation vorstellen und kann in drei Schritten beschrieben werden. Zuerst wird das Signal durch eine Transformation visualisiert, sodass bestimmte Eigenschaften des Signals (z. B. die Frequenzen im Zeitverlauf, die Energie des Signals) leicht gefunden oder gesehen werden können. Dann kann man sich mit der Visualisierung des Signals befassen, um einige wichtige Merkmale zu modifizieren. Schließlich wird das modifizierte Bild zurück in den Signalbereich transformiert und somit ein neues, modifiziertes Signal erhalten. Was ein Tontechniker während eines Konzerts in der Praxis macht, indem er einen Equalizer bedient, ist eigentlich eine Manipulation von Frequenzbereichen in Echtzeit, um die Klangqualität zu verbessern. Multiplikatoren können sich auch zu Trennaufgaben anwenden, z.B. wenn es darum geht, die Stimme des Sängers von den Musikinstrumenten in einem Lied zu trennen, oder wenn man versucht, den Klang eines Tieres aus einer lauten Schallplatte in der Natur zu extrahieren usw. Wenn Sie einen Multiplikator anwenden, um ein neues modifiziertes Signal zu erhalten, ist es nicht immer möglich, in das ursprüngliche Signal zurückzuwandeln. Es ist von Relevanz und Wichtigkeit, Multiplikatoren zu bestimmen, deren Wirkung invertiert werden kann, sowie in der Lage zu sein, die inverse Operation (diejenige, die das modifizierte Signal zurück in das ursprüngliche umwandelt) zu beschreiben und die Inversion effizient zu berechnen. Während Multiplikatoren seit langem implizit in Anwendungen eingesetzt werden, wurde ihre eingehende theoretische Untersuchung in Bezug auf die Rahmentheorie erst in den letzten zwei Jahrzehnten zu einem Forschungsschwerpunkt. Einige Arbeiten zur Inversion von Rahmen- Multiplikatoren wurden im letzten Jahrzehnt durchgeführt, aber noch immer sind viele Fragen unbeantwortet geblieben und viele Fragen in neue Richtungen sind entstanden. In diesem Projekt werden wir eine eingehende Studie zu herausfordernden Fragen zu Multiplikatoren durchführen, die Inversion und verwandte Themen betreffen. Einige der Hauptziele sind die Untersuchung der Invertierbarkeit spezifischer Klassen von anwendungsrelevanten Multiplikatoren, die Bestimmung neuer einfacher Formeln für die inverse Operation und die Entwicklung und Implementierung neuartiger effizienter Algorithmen für die Invertierung; eine 12 Jahre alte Vermutung über eine Repräsentation einer wichtigen Klasse von Multiplikatoren zu lösen; Entwicklung neuer Ansätze zur Untersuchung verschiedener anderer Eigenschaften des Multiplikatoroperators, insbesondere von Eigenwerten und Eigenvektoren.