Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik mit Markovkategorie

In diesem Projekt geht es um die Entwicklung eines neuen mathematischen Zugangs zu den Grundlagen von Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Seit den bahnbrechenden Arbeiten von Kolmogorov aus den 1930er Jahren wird die Maßtheorie als das passende mathematische Fundament betrachtet. Die Ausgangshypotheses dieses Projekts ist es nun, dass die Axiome von Kolmogorov zwar adäquat sind, aber dass sie für komplexere Probleme in der mathematischen Praxis teilweise schwer handhabbar sind. Als praktisch einfacher hat sich das in den letzten Jahren entwickelte Axiomensystem von Markovkategorien erwiesen, welches hier weiterentwickelt werden wird. Dies kann mit einer Analogie zur Computerprogrammierung gut illustriert werden: die Maschinensprache ist zwar zum Programmieren im Prinzip vollkommen ausreichend, in der Praxis ist sie für komplexere Probleme allerdings zu unhandlich, wodurch das Verwenden von menschlich verständlicheren Hochsprachen sinnvoller wird. Genauer wird es in diesem Projekt um die Entwicklung von weiteren Aspekten der Wahrscheinlichkeitstheorie mittels Markovkategorien gehen. Dazu gehört insbesondere das sogenannte Gesetz der großen Zahlen, welches eines der zentralen Ergebnisse der klassischen Theorie darstellt, und welches somit von einem alternativen Zugang wie den Markovkategorien reproduziert werden muss. Außerdem betrachtet werden sollen der Satz von de Finetti, bei dem Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit sehr hoher Symmetrie charakterisiert werden. In der bisherigen Arbeit haben wir diesen bereits beweisen können, und zwar durch einen etwas einfacheren und intuitiv verständlicheren Beweis als mit der klassischen Maßtheorie. Noch offen sind dagegen bestimmte Varianten des Satzes für Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit weniger Symmetrie, die in ihrer klassischen Formulierungen weitreichende Anwendungen zum Beispiel in der Kombinatorik und in der Theorie statistischer Modelle gefunden haben. In dieser Forschungsrichtung gibt es die Hoffnung, dass die Theorie der Markovkategorien auch bald Aussagen beweisen könnte, die mit den klassischen maßtheoretischen Methoden aufgrund der höheren Komplexität bisher noch nicht bewiesen werden konnten.

Die Theorie der Markovkategorien hat in den letzten Jahren, unter anderem dank dieses Projekts, einen deutlichen Schwung erfahren. Das Hauptergebnis des Projekts ist dabei eine neue abstrakte Formulierung des Gesetzes der großen Zahlen. Dieser klassische mathematische Satz kann als eine Selbstkonsistenzaussage der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachtet werden, welche für die Interpretation von Wahrscheinlichkeiten als relative Häufigkeiten notwendig ist. Die Behandlung dieses Satzes mittels Markovkategorien ist eine wichtige Bestätigung der Mächtigkeit der Theorie. Sie wird außerdem neue Möglichkeiten zur philosophischen Interpretation von Wahrscheinlichkeiten eröffnen: unsere neuen Axiome für "empirical sampling" geben erstmals an, unter welchen Voraussetzungen das Bilden von relativen Häufigkeiten von einer Folge von Ergebnissen sinnvoll ist. Ein weiteres wichtiges Ergebnis ist ein neuer Beweis des Satzes von Aldous-Hoover über zufällige Netzwerke. Durch die Sprache der Markovkategorien ergibt sich ein Beweis, der deutlich intuitiver ist als die existierenden, welche stark auf Maßtheorie und Analysis beruhen. Dank dieser Vereinfachung wird in Zukunft auch das Behandeln von neuen komplexeren Aussagen über Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Symmetrien möglich werden. Schließlich hat das Projekt auch zur erfolgreichen Vermittlung der Theorie der Markovkategorien beigetragen. Durch Vorträge und Minicourses auf internationalen Konferenzen haben wir das vorhandene Interesse in der Fachgemeinschaft befriedigen können, so dass eine wachsende Zahl von Forschenden aktiv die Theorie der Markovkategorien nutzt. Dazu gehören insbesondere Forschende in der Informatik, wo Markovkategorien sowohl bei der semantischen Modellierung von probabilistischen Programmiersprachen als auch immer häufiger beim maschinellen Lernen eingesetzt werden.