Klassifizierung algorithmischer Probleme in der Algebra

Ein endlicher Satz von Anweisungen, die festlegen, wie bestimmte Daten zu manipulieren oder zu berechnen sind, wird als Algorithmus bezeichnet, und durch Algorithmen lernen wir grundlegende algebraische Operationen wie die Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen. Seit der Antike sind Mathematiker auf die Verbindungen zwischen Berechnungen und Algebra aufmerksam geworden. Im Jahr 1911 stellte Max Dehn drei grundlegende Probleme, die in der Algebra auf natürliche Weise auftreten (das Isomorphieproblem, das Wortproblem und das Konjugatsproblem), und er fragte, ob solche Probleme mit algorithmischen Mitteln gelöst werden könnten. Es stellte sich heraus, dass Dehns Probleme im Allgemeinen unlösbar sind, was bedeutet, dass kein Computer jemals in der Lage sein wird, sie zu lösen: Dies ist eine der spektakulärsten Anwendungen der Logik auf die allgemeine Mathematik. Das wichtigste wissenschaftliche Ziel dieses Projekts ist die Einführung und Erforschung eines neuen Verfahrens zur Messung der Komplexität der wichtigsten algorithmischen Probleme der Algebra. Wir werden modernste Methoden aus der Theorie der Äquivalenzrelationen verwenden, die es ermöglichen, die Komplexität algorithmischer Probleme auf sehr präzise Weise zu messen. Generell werden wir Ideen und Techniken aus einer Vielzahl von mathematischen Bereichen kombinieren, z. B. aus der Theorie der Berechenbarkeit, der universellen Algebra oder der Gruppentheorie, und so die Zusammenarbeit zwischen verschiedenen mathematischen Gemeinschaften fördern. Kurz gesagt, wir wollen an der Schnittstelle zwischen der Rechentheorie und der Algebra wirken, indem wir das theoretische Wissen darüber erweitern, welche algebraischen Probleme algorithmisch lösbar sind und welche nicht.

Ein endlicher Satz von Anweisungen, die festlegen, wie bestimmte Daten zu manipulieren oder zu berechnen sind, wird als Algorithmus bezeichnet, und durch Algorithmen lernen wir grundlegende algebraische Operationen wie die Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen. Seit der Antike sind Mathematiker auf die Verbindungen zwischen Berechnungen und Algebra aufmerksam geworden. Im Jahr 1911 stellte Max Dehn drei grundlegende Probleme, die in der Algebra auf natürliche Weise auftreten (das Isomorphieproblem, das Wortproblem und das Konjugatsproblem), und er fragte, ob solche Probleme mit algorithmischen Mitteln gelöst werden könnten. Es stellte sich heraus, dass Dehns Probleme im Allgemeinen unlösbar sind, was bedeutet, dass kein Computer jemals in der Lage sein wird, sie zu lösen: Dies ist eine der spektakulärsten Anwendungen der Logik auf die allgemeine Mathematik. Das wichtigste wissenschaftliche Ergebnis dieses Projekts war die systematische Erforschung eines neuen Verfahrens zur Messung der Komplexität der wichtigsten algorithmischen Probleme der Algebra. Wir haben modernste Methoden aus der Theorie der Äquivalenzrelationen verwendet, die es ermöglichen, die Komplexität algorithmischer Probleme auf sehr präzise Weise zu messen. Generell haben wir Ideen und Techniken aus einem breiten Spektrum mathematischer Gebiete kombiniert, z. B. aus der Theorie der Berechenbarkeit, der universellen Algebra oder der Gruppentheorie, und so die Zusammenarbeit zwischen verschiedenen mathematischen Gemeinschaften gefördert.