Modellle, Analysis, Simulation von nichtlinearem Ultraschall

Nichtlineare Wellenausbreitung spielt in wichtigen Anwendungen medizinischen Ultraschalls eine Rolle. Dieses Projekt behandelt die Analyse (und zu einem gewissen Grad auch Numerik) von partiellen Differentialgleichungen zur Modellierung nichtlinearer Akustik. Sein Zweck ist es, substanziell zum Verständnis von neuen Ultraschallbildgebungsverfahren beizutragen, in denen nichtlineare Wellenausbreitung genutzt wird, wie zum Beispiel harmonic imaging und nonlinearity parameter tomography. Ihre optimierte und sichere Nutzung erfordert ein grundlegendes und detailliertes Verständnis dieser nichtlinearen Phänomene mittels geeigneter mathematischer Modelle, die imstande sind, alle relevanten physikalischen Effekte zu erfassen und beschreiben. Im Vergleich zum linearen Regime, in dem Modellvereinfachungen es erlauben, die Bildgebung im wesentlichen auf eine Signalverarbeitungsaufgabe zurückzuführen, erfordert Nichtlinearität einen fundamental anderen Modellierungsansatz basierend auf physikalischen Bilanz- und Konstitutivgleichungen, was auf partielle Differentialgleichungen (PDgln) oder Systeme von PDgln führt. Das vorliegende FWF Projekt beschäftigt sich mit einer Reihe von wesentlichen Aspekten im Zusammenhang mit der Modellierung, Analysis und Numerik von PDgln, die aus die Erfordernisse der genannten Anwendungen abzielen. Diese sind: Existenz von Lösungen niedriger Regularität für klassischen und weiterentwickelte Modelle der nichtlinearen Akustik mit nicht-glatten Koeffizienten (relevant in der Bildgebung); Modellierung und Analyse von fraktional gedämpften Wellengleichungen (relevant im medizinischen Ultraschall); Adaptive Diskretisierungsmethoden für fraktional gedämpfte nichtlineare Wellengleichungen (erforderlich für effiziente Simulation). Die geplanten Arbeiten beruhen auf Forschungsergebnissen, die in einem früheren FWF Projekt (P24970 Mathematics of Nonlinear Acoustics: Analysis, Numerics, and Optimization 2012-2015) und im Anschluss daran erzielt wurden.