Hin und zurück: über (quasi-)periodische Lösungen in der AR

Dieses Projekt schlägt vor, geschlossene konservative Systeme zu untersuchen, die durch nichtlineare zeitabhängige partielle Differentialgleichungen beschrieben werden. Das Verhalten konservativer dynamischer Systeme hängt stark von ihrem Definitionsbereich ab. Bei offenen Systemen können anfängliche Anregungen abgestrahlt und so stationäre Konfigurationen erreicht werden (z. B. abklingendes Schwingen einer Glocke). Bei geschlossenen Systemen jedoch kann die überschüssige Energie nicht entweichen. Was passiert mit der Anregung, wenn wir lange genug warten? Für nichtlineare Systeme gibt es keine allgemeingültige Antwort. Beispielsweise kann die Lösung eine Singularität entwickeln (z. B. ein schwarzes Loch oder eine Divergenz), unregelmäßig schwingen, oder in besonderen Fällen zeitperiodisch sein (wie eine ungedämpfte, ewig schwingende Saite). Wie sich das System genau entwickelt, hängt von den Besonderheiten des Systems ab, aber auch von der anfänglichen Störung. Studien zu geschlossenen Systemen stecken noch in den Kinderschuhen, und das aktuelle Projekt zielt darauf ab, dieses Forschungsfeld weiter zu entwickeln. Wir wollen quasi- und zeitperiodische Lösungen der Allgemeinen Relativitätstheorie und auch einfacher Modellgleichungen untersuchen. Damit die Einstein-Gleichungen einem geschlossenen System ähneln, muss eine negative kosmologische Konstante angenommen werden. In einem solchen Fall gibt es eine Grenze, an der Energie und Materie reflektiert werden kann. Ein grundlegendes Problem ist, ob solche geschlossenen Raumzeiten stabil sind. Um diese Frage zu untersuchen, betrachten wir kleine Abweichungen von solchen Lösungen. Zwar ist bekannt, dass solche Raumzeiten im Allgemeinen dazu tendieren, zu schwarzen Löchern zu kollabieren, jedoch gibt es zahlreiche Hinweise dafür, dass auch quasi- oder zeitperiodische Konfigurationen existieren. Aufgrund der intrinsischen Komplexität der Einstein-Gleichungen wollen wir auch einfachere Modellgleichungen untersuchen (die z. B. bei der Untersuchung von eingeschlossenen ultrakalten Gasen Anwendungen finden). Bei diesen einfacheren Modellen könnte die Analyse mit rigorosen Methoden durchgeführt werden. Die hier gewonnen Erkenntnisse werden als Ausgangspunkt für Untersuchungen komplexerer Systeme dienen. In unseren Untersuchungen werden wir eine Kombination aus analytischen und numerischen Methoden verwenden. DieintrinsischeKomplexitätderProblememacht Computerunterstützung erforderlich. Außerdem werden numerische Methoden zur Erforschung von Parameterbereichen benötigt, in denen Näherungsverfahren nicht genau genug sind oder generell versagen (z. B. zur Untersuchung großer Lösungen). Darüber hinaus werden wir computergenerierte Daten zur Entwicklung neuer rigoroser Methoden verwenden. Der Abschluss dieser Forschung wird unser Verständnis der nichtlinearen Dynamik konservativer partieller Differentialgleichungen auf geschlossenen Bereichen und der von ihnen modellierten Systeme erheblich verbessern.