Kombinatorische Faktorisierungstheorie

Faktorisierungen (Zerlegungen) in einfachere Objekte, wobei die einfacheren Objekte vom selben Typ sind aber keine weiteren Zerlegungen erlauben. Diese nennt man irreduzibel oder unzerleg- bar oder (so wie in der Physik) auch Atome. Wir studieren Faktorisierungen um eine besseres Verständnis der Struktur der Ausgangsobjekte zu erhalten. Ein einfaches Beispiel, an das wir denken können, sind die positiven ganzen Zahlen. In diesem Fall sind die einfacheren Objekte die Primzahlen. Diese sind positive ganze Zahlen, die keine Faktorisierungen in positive ganze Zahlen grösser als 1 erlauben. Auch Polynome mit ganzzahligen (oder reellen oder komplexen) Koezienten erlauben eine Faktorisierung in irreduzible Polynome. Positive ganze Zahlen besitzen genau ein Faktorisierung in Primzahlen. Im allgemeinen be- sitzen algebraische Objekte eine grosse Anzahl verschiedener Faktorisierungen in irreduzible Objekte (in anderen Worten, die grossen Objekte können auf recht verschiedene Weise aus Atomen zusammengebaut werden). Betrachten wir Polynome mit nicht-negativen ganzen Koef- zienten. Auch diese können in irreduzible Polynome mit nicht-negativen ganzen Koezienten zerlegt werden, aber im allgemeinen gibt es viele verschiedenen Faktorisierungen dieses Typs. Faktorisierungstheorie untersucht Faktorisierungen von Objekten in irreduzible. Das Ziel ist, alle verschiedenen Faktorisierungen eines festen Elementes zu beschreiben, in anderen Worten, die Nicht-Eindeutigkeit von Faktorisierungen durch geeignete Parameter, wie Längenmengen, zu beschreiben (ist ein Element ein Produkt von k irreduziblen Elementen, so heißt k eine Fak- torisierungslänge, und alle Faktorisierungslängen zusammen bilden die Längenmenge von a; eine Längenmenge ist also eine Menge positiver Zahlen). Die Kombinatorische Faktorisierungstheorie untersucht die Nicht-Eindeutigkeit von Faktori- sierungen von Elementen in Krullmonoiden mit (diskreten) Methoden aus der Additiven Kom- binatorik. Dabei handelt es sich bei Krullmonoiden um geeignete Teilmengen von Mengen mit eindeutiger Faktorisierung (viele verallgemeinerte Polynomringe gehören hier dazu). Die Diskrete Mathematik studiert oftmals eine endliche Gesamtheit von Objekten (Knoten in einem endlichen Netzwerk, Algorithmen, Worte einer Programmiersprache) und hat enge Verbindung zu den Computerwissenschaften.