Aspekte nichtautonomer Verzweigungen

Verzweigungen (Bifurkationen) beschreiben qualitative Änderungen im Langzeitverhalten dynamischer Systeme unter Parametervariation. Solche Änderungen treten an sogenannten kritischen Werten auf und es ist nicht nur von größter Bedeutung, die kritischen Werte zu lokalisieren, sondern auch die genaue Natur einer Bifurkation zu erfassen, um zeitvariante Phänomene vollständig zu verstehen. Unter den Bifurkationen aller Art sind solche vom Neimark- Sacker-Typ nicht nur in Anwendungen in z.B. den Lebens- und Wirtschaftswissenschaften allgegenwärtig, sondern erfordern aber auch eine interessante mathematische Maschinerie zu ihrer Analyse. Grob gesagt beschreiben Neimark-Sacker-Bifurkationen Übergänge von einem Punkt als Objekt, das das Langzeitverhalten erfasst, zu einer Scheibe, die komplexere Dynamiken enthält. Im vorliegenden Projekt verlassen wir den klassischen Rahmen dynamischer Systeme, in denen das Evolutionsgesetz zeitlich konstant ist. Wir sind vielmehr an Problemen interessiert, die einem aperiodischen zeitlichen Antrieb unterliegen, der endogen (saisonale Effekte) oder exogen (Regulierung, Kontrolle) sein kann. Für solche Probleme versagen viele der klassischen Konzepte (Eigenwerte, Ruhelagen), aber die moderne Theorie nichtautonomer dynamischer Systeme bietet einen geeigneten mathematischen Rahmen. Im Detail besteht unser Ziel darin, nichtautonome Versionen der Neimark-Sacker-Bifurkation zu verstehen, die für ihre Analyse erforderlichen Werkzeuge zu entwickeln, mögliche neue Phänomene zu identifizieren und sie anhand angewandter Probleme zu veranschaulichen.