Verzweigungen (Bifurkationen) beschreiben qualitative Änderungen im Langzeitverhalten
dynamischer Systeme unter Parametervariation. Solche Änderungen treten an sogenannten
kritischen Werten auf und es ist nicht nur von größter Bedeutung, die kritischen Werte zu
lokalisieren, sondern auch die genaue Natur einer Bifurkation zu erfassen, um zeitvariante
Phänomene vollständig zu verstehen. Unter den Bifurkationen aller Art sind solche vom Neimark-
Sacker-Typ nicht nur in Anwendungen in z.B. den Lebens- und Wirtschaftswissenschaften
allgegenwärtig, sondern erfordern aber auch eine interessante mathematische Maschinerie zu
ihrer Analyse. Grob gesagt beschreiben Neimark-Sacker-Bifurkationen Übergänge von einem
Punkt als Objekt, das das Langzeitverhalten erfasst, zu einer Scheibe, die komplexere Dynamiken
enthält.
Im vorliegenden Projekt verlassen wir den klassischen Rahmen dynamischer Systeme, in denen
das Evolutionsgesetz zeitlich konstant ist. Wir sind vielmehr an Problemen interessiert, die einem
aperiodischen zeitlichen Antrieb unterliegen, der endogen (saisonale Effekte) oder exogen
(Regulierung, Kontrolle) sein kann. Für solche Probleme versagen viele der klassischen Konzepte
(Eigenwerte, Ruhelagen), aber die moderne Theorie nichtautonomer dynamischer Systeme bietet
einen geeigneten mathematischen Rahmen. Im Detail besteht unser Ziel darin, nichtautonome
Versionen der Neimark-Sacker-Bifurkation zu verstehen, die für ihre Analyse erforderlichen
Werkzeuge zu entwickeln, mögliche neue Phänomene zu identifizieren und sie anhand
angewandter Probleme zu veranschaulichen.