Mahler-Systeme, Differentialgleichungen und deren Lösungen

Mathematische Modelle in den Naturwissenschaften werden typischerweise mittels Gleichungen beschrieben, die die auftretenden Größen miteinander in Beziehung setzen. Ein bedeutender Teil der mathematischen Forschung beschäftigt sich mit der Erforschung von Eigenschaften und Lösungsmethoden solcher Gleichungen. Anhand ihrer strukturellen Eigenschaften werden verschiedene Arten von Gleichungen unterschieden. Zum Beispiel verknüpfen Differentialgleichungen die Werte von Funktionen und ihren Ableitungen an einer Stelle, und Rekursionsgleichungen verknüpfen die Funktionswerte an mehreren Stellen miteinander, die in festem Abstand liegen. Beides sind Arten von Funktionalgleichungen. Im Projekt werden Algorithmen zum Lösen und Erstellen ausgewählter Arten linearer Funktionalgleichungen entwickelt. Was Lösungen angeht, so sind wir ausschließlich an expliziten Darstellungen exakter Lösungen interessiert anstatt Näherungslösungen zu berechnen. Für lineare Differential- oder Rekursionsgleichungen sind viele Algorithmen zum Auffinden expliziter Lösungen unterschiedlicher Art bekannt. Es wurden sogar Algorithmen entwickelt, die Systeme solcher Gleichungen direkt lösen. Für sogenannte Mahler-Gleichungen hat die Entwicklung von Lösungsmethoden hingegen erst vor wenigen Jahren begonnen und ist noch nicht so weit fortgeschritten. Mahler-Gleichungen verknüpfen Funktionswerte an Stellen, die durch Potenzierung gegeben sind. Sie wurden nach Kurt Mahler benannt, der sie vor fast 100 Jahren zur Untersuchung transzendenter Zahlen verwendet hat. Ein Ziel des Projekts ist es, effiziente Algorithmen zu entwickeln, die lineare Systeme von Mahler- Gleichungen direkt lösen. Ein weiteres Ziel des Projekts ist es, Algorithmen zur Lösung linearer Differentialgleichungen, bei denen spezielle Funktionen sowohl in der Gleichung als auch in der Lösung auftreten, weiterzuentwickeln und zu verfeinern. Auch die Umkehrung, also für eine gegebene Funktion eine Gleichung zu finden die sie erfüllt, ist in bestimmten Situationen relevant, insbesondere wenn die Funktion nicht in passender expliziter Form vorliegt. Wenn zum Beispiel eine Funktion durch ein Integral oder eine unendliche Summe gegeben ist, dann kann eine von ihr erfüllte Gleichung es erleichtern, weitere Eigenschaften (z.B. Singularitäten) oder sogar eine explizite Form zu bestimmen. Es gibt Algorithmen, um solche Gleichungen zu berechnen, und oft sind die entstehenden Gleichungen dann in einfachere Gleichungen zerlegbar, die leichter behandelt werden können als die ursprüngliche Gleichung. Ein Ziel des Projekts ist es, Algorithmen zu entwickeln, die durch Ausnutzen der inneren Struktur der Integrale bzw. Summen eine solche Zerlegung in einfachere Gleichungen direkt berechnen können, ohne zuvor die größere Gleichung zu berechnen.