Geometrisches Grünes Lernen auf Gruppen und Quotientenräumen

Das Projekt ist Teil des im Entstehen begriffenen Forschungsgebiets der geometrischen grünen Lernmethoden in der künstlichen Intelligenz, die auf einer langen Geschichte der Differentialgeometrie (in endlichen und unendlichen Dimensionen) und der jüngsten Entwicklung von Algorithmen für maschinelles Lernen beruhen. In diesem Projekt werden wir uns auf die Bekämpfung der Datenaugmentation konzentrieren, die im Allgemeinen dazu dient, die Tatsache zu kompensieren, dass bestimmte Symmetrien, die einem gegebenen Problem innewohnen, bei der Gestaltung der Architektur des neuronalen Netzes und der Wahl der Verlustfunktion nicht berücksichtigt wurden. Die Klassifizierung von 2D- oder 3D-Objekten modulo Translationen und Rotationen ist ein typisches Beispiel, bei dem übersetzte und gedrehte Objekte zum Datensatz hinzugefügt werden müssen, um eine gute Klassifizierungsleistung zu erzielen. In diesem Fall sind die Symmetrien jedoch in einer endlich dimensionalen Gruppe, der euklidischen Bewegungsgruppe SE(2) oder SE(3), kodiert, und der Verlust an Effizienz ist moderat. Symmetrien für die Reparametrisierung sind problematischer, zum Beispiel bei zeitabhängigen Signalen, bei denen eine Verzögerung bei der Erfassung vom Netzverkehr abhängen kann. In diesem Fall ist die Gruppe der Symmetrien unendlich-dimensional, wie die Diffeomorphismengruppe der zeitlichen Umparametrisierungen. Die Frage, wie man mit dieser Art von Symmetrien umgeht, ist Teil des Projekts. Gruppenaktionen und Quotientenräume sind die natürlichen mathematischen Begriffe, mit denen man arbeiten wird, ebenso wie die zugehörigen (Haupt-)Faserbündel. Wir werden uns mit dem Problem der Optimierung einer Verlustfunktion befassen, die über eine Gruppe, einen homogenen Raum oder einen Quotientenraum (möglicherweise von unendlicher Dimension) definiert ist, und Gruppenzerlegungen und Abschnitte von Faserbündeln zur Dimensionsreduktion und zum Entwurf effizienter Minimierungsalgorithmen verwenden.