Übersetzungsprozeduren und derivierte Modelle

Zermelo-Fraenkel Mengenlehre stellt die Grundlage für unsere moderne Mathematik. Durch Gödels berühmten Unvollständigkeitssatz wissen wir, dass es Fragen gibt, die in diesem System weder bewiesen noch widerlegt werden können. Seit her haben Mengenforscher eine Vielzahl von neuen Axiomen entdeckt, die uns womöglich erlauben werden viele Fragen zu beantworten, die auf Basis der akzeptierten Axiome keine Antwort haben. Die Stärke von Axiomen ergibt sich aus dem Vergleich mit einer besonderen Klasse von Axiomen, welche die Existenz sehr großer Unendlichkeiten, sogenannte Große Kardinalzahlen, postulieren. Eine andere Klasse von Axiomen von ähnlichen Charakter sind die Axiome der Determiniertheit. Diese schreiben vor, dass gewisse Spiele auf den natürlichen Zahlen, zwischen zwei Spielern und vollständiger Information determiniert sind, d.h. einer der Spieler hat eine Strategie die ihr den Sieg in jedem Spiel garantiert. Die erste Klasse von Axiomen betrifft die größten vorstellbaren Unendlichkeiten. Die zweite betrifft Strukturen, die aus Sicht der Unendlichkeit ziemlich klein erscheinen. Dennoch gibt es zwischen Beiden eine tiefgehende Verbindung. Diese Verbindung ergibt sich aus dem Studium kanonischer Modelle der Mengenlehre. Dieses Studium hat seine Wurzeln in Kurt Gödels Beweis der Konsistenz der Kontinuumshypothese, aber erhielt seine derzeitige Gestalt durch die Feinstrukturanalyse von Ronald B. Jensen. Jensen benannte diese kanonischen Modelle, Mäuse, einen Namen den wir auch heute noch beibehalten. Ein bedeutender Aspekt dieser Verbindung ist W.H. Woodins Deriviertes-Modell-Satz, welcher uns erlaubt einer Maus ein Modell der Determiniertheit zuzuordnen. Dieses Projekt versucht aufzuklären, wie genau die Struktur der Maus die Struktur des zugeordneten derivierten Modells beeinflusst. Um dies durchzuführen, werden wir Prozeduren erstellen müssen, die uns erlauben zwischen `klassichen Mäusen und HOD-Mäusen, eine Variation entwickelt unter anderem von Sargsyan, Steel, und Woodin, welche natürlich im Studium von Modellen der Determiniertheit auftaucht, zu übersetzen. Mit Erfolg in dieser ersten Instanz können wir dann einige wichtige Probleme angehen, die uns an die derzeitige Grenze in der Erforschung der Unendlichkeit führen.